《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

7. 计算.
(1) $ ( - 1 ) ^ { 2012 } + ( - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { - 2 } - ( 3.14 - \pi ) ^ { 0 } $；
(2) $ ( \pi - 3 ) ^ { 0 } - | \sqrt { 5 } - 3 | + ( - \frac { 1 } { 3 } ) ^ { - 2 } - \sqrt { 5 } $；
(3) $ ( - 1 ) ^ { - 1 } + ( \frac { 1 } { 3 } ) ^ { - 2 } × 2 ^ { - 2 } - ( - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } × ( \pi - 3.14 ) ^ { 0 } $.

答案：
(1)
$(-1)^{2012}=1$（因为负数的偶次幂是正数）；
$(-\frac{1}{2})^{-2}=(-2)^2 = 4$（负整数指数幂，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$p$为正整数）；
$(3.14 - \pi)^0 = 1$（任何非零数的$0$次幂都为$1$）。
则原式$=1 + 4-1=4$。
(2)
$(\pi - 3)^0 = 1$（任何非零数的$0$次幂都为$1$）；
$\vert\sqrt{5}-3\vert=3 - \sqrt{5}$（因为$\sqrt{5}\lt3$）；
$(-\frac{1}{3})^{-2}=(-3)^2 = 9$（负整数指数幂，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$p$为正整数）。
则原式$=1-(3 - \sqrt{5})+9-\sqrt{5}=1 - 3+\sqrt{5}+9-\sqrt{5}=7$。
(3)
$(-1)^{-1}=\frac{1}{-1}=-1$（负整数指数幂，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$p$为正整数）；
$(\frac{1}{3})^{-2}=3^2 = 9$，$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$，所以$(\frac{1}{3})^{-2}×2^{-2}=9×\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$；
$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$(\pi - 3.14)^0 = 1$（任何非零数的$0$次幂都为$1$），所以$(-\frac{1}{2})^2×(\pi - 3.14)^0=\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4}$。
则原式$=-1+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=1$。

8. 计算.
(1) $ \sqrt { 18 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } ÷ \sqrt { \frac { 4 } { 3 } } × \frac { 6 } { \sqrt { 3 } } $；
(2) $ \sqrt { 48 } ÷ \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } × \sqrt { 12 } + \sqrt { 24 } $；
(3) $ \sqrt { 8 } × ( \sqrt { 32 } + 2 \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } - \sqrt { 12 } ) $；
(4) $ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } × ( - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { - 2 } - ( 2 \sqrt { 2 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 0 } + \sqrt { 32 } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } $.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&\sqrt{18}-\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{4}{3}}×\frac{6}{\sqrt{3}}\\=&3\sqrt{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}÷\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)×2\sqrt{3}\\=&3\sqrt{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{2\sqrt{3}}\right)×2\sqrt{3}\\=&3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}×2\sqrt{3}\\=&3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\\=&\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}\\=&4\sqrt{3}÷\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{3}+2\sqrt{6}\\=&4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}\\=&4+\sqrt{6}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\sqrt{8}×\left(\sqrt{32}+2\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{12}\right)\\=&2\sqrt{2}×\left(4\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\\=&2\sqrt{2}×\left(5\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\\=&2\sqrt{2}×5\sqrt{2}-2\sqrt{2}×2\sqrt{3}\\=&20-4\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{2}}{2}×\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2}-\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^0+\sqrt{32}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}\\=&\frac{\sqrt{2}}{2}×4-1+4\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}+1\right)\\=&2\sqrt{2}-1+4\sqrt{2}+\sqrt{2}+1\\=&7\sqrt{2}\end{aligned}$
(1)$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(2)$4+\sqrt{6}$；
(3)$20-4\sqrt{6}$；
(4)$7\sqrt{2}$

9. 阅读下面的解答过程,然后作答.
有这样一类题目：将 $ \sqrt { a + 2 \sqrt { b } } $ 化简,若你能找到两个数 $ m $ 和 $ n $,使 $ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = a $ 且 $ m n = \sqrt { b } $,则 $ a + 2 \sqrt { b } $ 可变为 $ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + 2 m n $,即变成 $ ( m + n ) ^ { 2 } $,从而使得 $ \sqrt { a + 2 \sqrt { b } } $ 化简.
例如：因为 $ 5 + 2 \sqrt { 6 } = 3 + 2 \sqrt { 6 } + 2 = ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2 × \sqrt { 3 } × \sqrt { 2 } + ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } = ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $,所以 $ \sqrt { 5 + 2 \sqrt { 6 } } = \sqrt { ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } $.
请你仿照上例回答下列问题.
(1) $ \sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } $；
(2) $ \sqrt { 7 - 2 \sqrt { 10 } } $.

答案：
(1) 因为 $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$，所以 $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$。
(2) 因为 $7 - 2\sqrt{10} = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = (\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$，所以 $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$。

10. $ A $,$ B $ 两点在数轴上的位置如图所示,其中 $ O $ 为原点,点 $ A $ 对应的有理数为 $ a $,点 $ B $ 对应的有理数为 $ b $,且点 $ A $ 距离原点 $ 6 $ 个单位长度,$ a $,$ b $ 满足 $ b - | a | = 2 $.
(1) $ a = $$-6$；$ b = $$8$.
(2)动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度向右运动,设运动时间 $ t $ 秒 $ ( t ＞ 0 ) $.
①当 $ P O = 2 P B $ 时,求点 $ P $ 的运动时间 $ t $；
②当 $ P B = 6 $ 时,求 $ t $ 的值.

(2)①$t = \frac{17}{3}$或$t = 11$；②$t = 4$或$t = 10$

答案：
(1)
因为点$A$距离原点$6$个单位长度，且在原点左侧，所以$a=-6$。
把$a = - 6$代入$b-\vert a\vert=2$，可得$b - 6 = 2$，解得$b = 8$。
故答案为：$-6$；$8$。
(2)
①点$P$表示的数为$-6 + 2t$。
由$PO = 2PB$，可得$\vert-6 + 2t\vert=2\vert-6 + 2t - 8\vert$，即$\vert2t - 6\vert=2\vert2t - 14\vert$。
当$2t-6\geq0$且$2t - 14\geq0$，即$t\geq7$时，$2t - 6 = 2(2t - 14)$，$2t - 6 = 4t - 28$，$2t = 22$，$t = 11$。
当$2t-6\geq0$且$2t - 14\lt0$，即$3\leq t\lt7$时，$2t - 6 = 2(14 - 2t)$，$2t - 6 = 28 - 4t$，$6t = 34$，$t=\frac{17}{3}$。
当$2t-6\lt0$且$2t - 14\lt0$，即$t\lt3$时，$6 - 2t = 2(14 - 2t)$，$6 - 2t = 28 - 4t$，$2t = 22$，$t = 11$（舍去）。
所以$t = \frac{17}{3}$或$t = 11$。
②因为$PB=\vert-6 + 2t - 8\vert=\vert2t - 14\vert$，由$PB = 6$，可得$\vert2t - 14\vert=6$。
当$2t - 14 = 6$时，$2t = 20$，$t = 10$。
当$2t - 14=-6$时，$2t = 8$，$t = 4$。
所以$t = 4$或$t = 10$。