《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

5. 若 $ 2 y + 1 $ 与 $ x - 5 $ 成正比例,则 (A)
A.$ y $ 是 $ x $ 的一次函数
B.$ y $ 与 $ x $ 没有函数关系
C.$ y $ 是 $ x $ 的函数,但不是一次函数
D.$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数

答案： A

6. 已知 $ y = ( m + 1 ) x ^ { 2 - | m | } + n + 4 $.
(1) 当 $ m $, $ n $ 为何值时, $ y $ 是 $ x $ 的一次函数?并写出关系式.
(2) 当 $ m $, $ n $ 为何值时, $ y $ 是 $ x $ 的正比例函数? 并写出关系式.

答案：
(1) 要使$y$是$x$的一次函数，需满足：
自变量$x$的次数为$1$：$2 - |m| = 1$，解得$|m| = 1$，即$m = \pm 1$；
一次项系数不为$0$：$m + 1 \neq 0$，即$m \neq -1$。
综上，$m = 1$，$n$为任意实数。
关系式：$y = 2x + n + 4$。
(2) 要使$y$是$x$的正比例函数，需满足：
是一次函数，即$m = 1$；
常数项为$0$：$n + 4 = 0$，解得$n = -4$。
综上，$m = 1$，$n = -4$。
关系式：$y = 2x$。

7. 写出下列各题中 $ x $ 与 $ y $ 之间的关系式,并判断 $ y $ 是否为 $ x $ 的一次函数,是否为正比例函数.
(1) 汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶,行驶路程 $ y ( \mathrm { km } ) $ 与行驶时间 $ x ( \mathrm { h } ) $ 之间的关系;
(2) 已知 $ \triangle A B C $ 一边 $ A B $ 上的高为 8, $ \triangle A B C $ 的面积 $ S $ 与边 $ A B $ 的长 $ x $ 的关系;
(3) 一条鳄鱼现在身长 70 cm,每月长 3 cm, $ x $ 月后这条鳄鱼的身长为 $ y ( \mathrm { cm } ) $.

答案：
(1)
关系式：$y = 80x$；
是$x$的一次函数；
是正比例函数。
(2)
关系式：$S = \frac{1}{2} × 8 × x = 4x$；
是$x$的一次函数；
是正比例函数。
(3)
关系式：$y = 3x + 70$；
是$x$的一次函数；
不是正比例函数。

已知 $ y + 3 $ 与 $ x + 2 $ 成正比例,且当 $ x = 3 $ 时, $ y = 7 $.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式;
(2) 当 $ x = - 1 $ 时,求 $ y $ 的值;
(3) 当 $ y = 0 $ 时,求 $ x $ 的值.

答案：
(1)
因为$y + 3$与$x + 2$成正比例，设$y + 3 = k(x + 2)$。
把$x = 3$，$y = 7$代入$y + 3 = k(x + 2)$得：
$7 + 3=k(3 + 2)$
$10 = 5k$
解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$y + 3 = k(x + 2)$得$y + 3 = 2(x + 2)$，
整理得$y = 2x + 1$。
(2)
把$x = - 1$代入$y = 2x + 1$得：
$y=2×(-1)+1=-1$。
(3)
把$y = 0$代入$y = 2x + 1$得：
$0 = 2x + 1$
$2x=-1$
解得$x = - 0.5$。
综上，答案依次为：
(1)$y = 2x + 1$；
(2)$-1$；
(3)$-0.5$。