《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

5. 如图,$A$,$B两块试验田相距200\mathrm{m}$,$C$为水源池,$AC= 160\mathrm{m}$,$BC= 120\mathrm{m}$,为了方便灌溉,现有两种方案修筑水渠.

甲方案：从水源池$C直接修筑两条水渠分别到试验田A$,$B$；
乙方案：过点$C作AB$的垂线,垂足为$H$,先从水源池$C修筑一条水渠到线段AB上的点H$处,再从$H分别向试验田A$,$B$修筑水渠.
(1)判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)两种方案中,哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明理由.

答案：
(1) 在$\triangle ABC$中，
$AC = 160\mathrm{m}$，$BC = 120\mathrm{m}$，$AB = 200\mathrm{m}$，
因为$160^2 + 120^2 = 25600 + 14400 = 40000$，
$200^2 = 40000$，
所以$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
由勾股定理的逆定理得$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}$。
(2) 甲方案修筑水渠长度为：$AC + BC = 160 + 120 = 280(m)$，
乙方案：
因为$\triangle ABC$的面积$= \frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2}AC \cdot BC$，
所以$CH \cdot 200 = 160 × 120$，
$CH = 96(m)$，
所以$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{160^2 - 96^2} = 128(m)$，
$BH = AB - AH = 200 - 128 = 72(m)$，
乙方案修筑水渠长度为：$CH + AH + BH = AB + CH = 200 + 96 = 296(m)$（或$128 + 72 + 96 = 296(m)$），
因为$280 ＜ 296$，
所以甲方案所修的水渠较短。

6. 如图,等腰$\triangle ABC的底边长为8\mathrm{cm}$,腰长为$5\mathrm{cm}$,一个动点$P在底边上从B向C以0.25\mathrm{cm}/s$的速度移动.求当$P$运动几秒时,$P点与顶点A的连线PA$与腰垂直.

答案： 7秒或25秒

7. 如图①,某城市创建文明城市期间,路边设立了一块宣传牌.图②为从此场景中抽象出的数学模型,宣传牌($AB$)顶端有一根绳子($AC$),自然垂下后,绳子底端离地面还有$0.7\mathrm{m}$(即$BC= 0.7\mathrm{m}$),工作人员将绳子底端拉到离宣传牌$3\mathrm{m}$处(即点$E到AB的距离为3\mathrm{m}$),绳子正好拉直.已知工作人员身高($DE$)为$1.7\mathrm{m}$,求宣传牌($AB$)的高度.

答案： 宣传牌高度为$\boxed{5.7}$米。