《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

10. 小亮用11个高度都是2cm的相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个正方形木板$ABCD$,如图所示。两木墙的高度分别为$AE与CF$的长,点$B在EF$上,求正方形木板$ABCD$的面积。

答案： 设正方形木板的边长为$x\,cm$，$BE = y\,cm$，则$BF=(x - y)\,cm$。
由题意，$AE = 2×3 = 6\,cm$，$CF=2×(11 - 3)=16\,cm$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle ABC = 90°$。
因为$AE\perp EF$，$CF\perp EF$，所以$\angle AEB=\angle BFC = 90°$，$\angle EAB+\angle ABE = 90°$。
又因为$\angle ABC = 90°$，所以$\angle ABE+\angle CBF = 90°$，故$\angle EAB=\angle CBF$。
所以$\triangle AEB\cong\triangle BFC$（AAS），则$AE = BF$，$BE = CF$。
即$\begin{cases}y = 16\\x - y=6\end{cases}$，解得$x = 22$。
正方形木板$ABCD$的面积为$x^2=22^2 = 484\,cm^2$。
答案：$484$

如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 7cm$,$AC= 25cm$。点$P从点A沿AB$方向以1cm/s的速度运动至点$B$,点$Q从点B沿BC$方向以6cm/s的速度运动至点$C$,$P$,$Q$两点同时出发。
(1) 求$BC$的长；
(2) 当运动2s时,求$P$,$Q$两点之间的距离；
(3)$P$,$Q$两点运动几秒时,$AP= CQ$？
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答案：
(1) 在$Rt \triangle ABC$中，由勾股定理得
$BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24(cm)$；
(2) 当运动2s时，
$AP = 2 × 1 = 2(cm)$，
$BQ = 2 × 6 = 12(cm)$，
则$PB = AB - AP = 7 - 2 = 5(cm)$，
在$Rt \triangle PBQ$中，由勾股定理得
$PQ = \sqrt{PB^{2} + BQ^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13(cm)$；
(3) 设运动$x$秒时，$AP = CQ$，
$AP = x × 1 = x(cm)$，
$CQ = 24 - 6x(cm)$，
由$AP = CQ$得
$x = 24 - 6x$，
解得$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} $（这个为合理值），
另由$P$到达$B$，$Q$到达$C$的时间关系得
$x \leqslant 7 ÷ 1 = 7$，
$24 - 6x \geqslant 0$，即$x \leqslant 4$，
所以$x = 3\frac{3}{7}$是唯一解，
综上，$P$，$Q$两点运动$ 3\frac{3}{7}$秒时，$AP = CQ$。