《2025年精练课堂分层作业八年级数学上册北师大版》

1. 若两个一次函数 $ y = k_1x + b_1 $($ k_1 \neq 0 $),$ y = k_2x + b_2 $($ k_2 \neq 0 $),则称函数 $ y = (k_1 + k_2)x + b_1b_2 $ 为这两个函数的“和谐函数”.
(1) 求一次函数 $ y = 2x + 3 $ 与 $ y = -4x + 4 $ 的“和谐函数”的表达式,若此“和谐函数”与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,求 $ \triangle ABO $ 的面积;
(2) 若一次函数 $ y = -ax + 1 $,$ y = x - 2b $ 的“和谐函数”为 $ y = 4x + 3 $,则 $ a = $______, $ b = $______.
(1)“和谐函数”表达式为$y=-2x + 12$，$\triangle ABO$的面积为$36$；(2)-3；$-\frac{3}{2}$

答案：
(1)
根据“和谐函数”的定义，对于$y = 2x + 3$与$y = -4x + 4$，$k_1 = 2$，$k_2 = -4$，$b_1 = 3$，$b_2 = 4$。
则“和谐函数”的表达式为$y=(2 - 4)x+3×4=-2x + 12$。
当$y = 0$时，$-2x+12 = 0$，解得$x = 6$，所以$A(6,0)$。
当$x = 0$时，$y = 12$，所以$B(0,12)$。
$\triangle ABO$中，$OA = 6$，$OB = 12$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× OA× OB$，可得$S=\frac{1}{2}×6×12 = 36$。
(2)
根据“和谐函数”的定义，对于$y = -ax + 1$与$y = x - 2b$，其“和谐函数”为$y=(-a + 1)x+1×(-2b)=(-a + 1)x-2b$。
因为“和谐函数”为$y = 4x + 3$，所以$\begin{cases}-a + 1 = 4\\-2b = 3\end{cases}$。
由$-a + 1 = 4$，解得$a=-3$；由$-2b = 3$，解得$b=-\frac{3}{2}$。
综上，答案依次为：
(1)“和谐函数”表达式为$y=-2x + 12$，$\triangle ABO$的面积为$36$；
(2)$-3$；$-\frac{3}{2}$。

2. 小东根据学习一次函数的经验,对函数 $ y = |2x - 1| $ 的图象和性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完成:
(1) 已知:
① 当 $ x = \frac{1}{2} $ 时,$ y = |2x - 1| = $0;
② 当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时,$ y = |2x - 1| = $2x - 1;
③ 当 $ x ＜ \frac{1}{2} $ 时,$ y = |2x - 1| = $1 - 2x.
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2) 由(1)的分析,取 5 个点可画出此函数的图象,请你帮小东确定下表中 $ m $,$ n $ 的值,其中$ m = $5;$ n = $3.
| $ x $ | … | $ -2 $ | $ 0 $ | $ \frac{1}{2} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | … |
| $ y $ | … | $ m $ | $ 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ n $ | … |
(3) 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,作出函数 $ y = |2x - 1| $ 的图象.
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函数$y = |2x - 1|$的图象：以$(\frac{1}{2},0)$为顶点，当$x＞\frac{1}{2}$时，图象是射线$y = 2x - 1$（$x＞\frac{1}{2}$部分），当$x＜\frac{1}{2}$时，图象是射线$y = 1 - 2x$（$x＜\frac{1}{2}$部分）。在给定坐标系中，先标出点$(-2,5)$，$(0,1)$，$(\frac{1}{2},0)$，$(1,1)$，$(2,3)$，然后用两条射线连接相应点（$x＜\frac{1}{2}$用$y = 1 - 2x$连接，$x＞\frac{1}{2}$用$y = 2x - 1$连接）。

答案：
(1)
①$0$
②$2x - 1$
③$1 - 2x$
(2)
当$x = - 2$时，$m=\vert2×(-2)-1\vert = 5$；
当$x = 2$时，$n=\vert2×2 - 1\vert=3$；
所以$m = 5$，$n = 3$
(3)
函数$y = |2x - 1|$的图象：以$(\frac{1}{2},0)$为顶点，当$x＞\frac{1}{2}$时，图象是射线$y = 2x - 1$（$x＞\frac{1}{2}$部分），当$x＜\frac{1}{2}$时，图象是射线$y = 1 - 2x$（$x＜\frac{1}{2}$部分）。在给定坐标系中，先标出点$(-2,5)$，$(0,1)$，$(\frac{1}{2},0)$，$(1,1)$，$(2,3)$，然后用两条射线连接相应点（$x＜\frac{1}{2}$用$y = 1 - 2x$连接，$x＞\frac{1}{2}$用$y = 2x - 1$连接）。