《2025年自主学习指导课程与测试七年级数学上册人教版》

19. 小东对有理数$a$，$b$定义了一种新的运算，叫“乘减法”，记作“$a\otimes b$”.他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：
$(+3)\otimes(+2)=+1$，$(+11)\otimes(-3)=-8$，$(-2)\otimes(+5)=-3$，$(-6)\otimes(-1)=+5$，
$(+\frac{1}{3})\otimes(+1)=+\frac{2}{3}$，$(-4)\otimes(+0.5)=-3.5$，$(-8)\otimes(-8)=0$，$(+2.4)\otimes(-2.4)=0$，
$(+23)\otimes80=+23$，$0\otimes(-\frac{7}{4})=+\frac{7}{4}$.
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了.”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确.”
(1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整.
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得$0$；一个数与$0$相“乘减”，或$0$与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值.
(2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同.
①用“乘减法”计算：$[(+7)\otimes(-3)]\otimes[(-9)\otimes(-5)]=$0；
②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即$a\otimes b = b\otimes a$.请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以$a = 2$，$b = -3$，$c = 4$为例说明$(a\otimes b)\otimes c = a\otimes(b\otimes c)$不成立.

答案： 19.解：
(1)正，负；
(2)①0；
②结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，理由如下：
因为a=2,b=-3,c=4，
所以左边=(a⊗b)⊗c=[2⊗(-3)]⊗4=(-1)⊗4=-3，
右边=a⊗(b⊗c)=2⊗[(-3)⊗4]=2⊗(-1)=-1，
所以左边≠右边，
所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立.