《2025年自主学习指导课程与测试七年级数学上册人教版》

17. 为了有效控制酒后驾驶，交警队一辆警车每天在一条东西方向的公路上巡查.某天早晨从$A$地出发，晚上到达$B$地，约定向东为正方向，当天行驶记录（单位：$km$）如下：$+18$，$-19$，$-13$，$+15$，$+10$，$-14$，$+19$，$-20$.问：
（1）$B$地在$A$地哪个方向？距$A$地多少千米？
（2）若该警车每千米耗油$0.1$L，警车出发时，油箱中油量为$10$L，那么中途是否需要给警车加油？若需要，至少加多少升油？若不需要，请说明理由.

答案： 17.
(1)18-19-13+15+10-14+19-20=(18+15+10)-(13+14+20)+(19-19)=43-47=-4.
即B地在A地的西方，距A地4千米.
(2)因为(18+19+13+15+10+14+19+20)×0.1=128×0.1=12.8(L)，
因为12.8＞10，所以途中至少加油2.8L.

18. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式$|x - 2|$的几何意义是数轴上$x$所对应的点与$2$所对应的点之间的距离.因为$|x + 1|=|x - (-1)|$，所以$|x + 1|$的几何意义就是数轴上$x$所对应的点与$-1$所对应的点之间的距离.
(1)探究问题：如图$3$，数轴上，点$A$，$B$，$P$分别表示数$-1$，$2$，$x$.
填空：因为$|x + 1|+|x - 2|$的几何意义是线段$PA$与$PB$的长度之和，而当点$P$在线段$AB$上时，$PA + PB = 3$；当点$P$在点$A$的左侧或点$B$的右侧时，$PA + PB\gt3$.所以$|x + 1|+|x - 2|$的最小值是3.
(2)解决问题：
①直接写出式子$|x - 4|+|x + 2|$的最小值为6；
②若满足$|x - 4|+|x + 2|=8$时，则$x$的值是-3或5；
③当$a$为-1或-5时，代数式$|x + a|+|x - 3|$的最小值是$2$.(直接写出结果)

答案： 18.解：
(1)
∵当点P在线段AB上时，PA+PB=3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3，
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3.
故答案为:3.
(2)①
∵|x-4|+|x+2|的几何意义是数轴上x对应的点与-2对应的点之间的距离与x对应的点与4对应的点之间的距离之和，
∴当x对应的点在-2和4对应的点之间时，|x-4|+|x+2|有最小值，最小值为6.
故答案为:6.
②
∵|x-4|+|x+2|=8，
∴根据①可知，x对应的点不在-2和4对应的点之间.
当x对应的点在-2对应的点左侧时，即当x＜-2时，
|x-4|+|x+2|=-(x-4)-(x+2)=-2x+2=8，解得x=-3；
当x对应的点在4对应的点右侧时，即当x＞4时，
|x-4|+|x+2|=(x-4)+(x+2)=8，解得x=5.
综上，x=-3或5，
故答案为:-3或5.
③
∵|x+a|+|x-3|的最小值是2，
∴|-a-3|=2，解得a=-1或-5.
故答案为:-1或-5.