《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

14. 若已知角$\theta$终边上一点$P(x,3)(x\neq0)$，且$\cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}x$，问：能否求出$\sin\theta$，$\cos\theta$的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由。

答案： 14. 解：由题意，得$r = |OP| = \sqrt{x^{2} + 9}$，则$\cos\theta = \frac{x}{r} =$
$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{\sqrt{10}}{10}x$. $\because x \neq 0$，$\therefore x = 1$，或$x = -1$.当$x = 1$时，
点$P$的坐标为$(1, 3)$，角$\theta$为第一象限角，此时，$\sin\theta =$
$\frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$；当$x = -1$时，点$P$的坐标为
$(-1, 3)$，角$\theta$为第二象限角，此时，$\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

15. 平面直角坐标系中，设角$\alpha$的终边上任意一点$P$的坐标是$(x,y)$，它与原点的距离是$r(r\gt0)$，规定：比值$\frac{y - x}{r}$叫做$\alpha$的正余混弦，记作$sch\alpha$。若$sch\alpha = \frac{1}{5}(0\lt\alpha\lt\pi)$，则$\tan\alpha =$(D)

A.$-\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 15. D

16. 若$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，证明：$\sin\alpha + \cos\alpha\gt1$。

答案： 16. 证明：设角$\alpha$的顶点与原点重合，始边与$x$轴的非负半轴重
合，则角$\alpha$的终边与单位圆的交点$P$在第一象限，设点$P$的
坐标为$(x, y)$.易知$0 ＜ x ＜ 1$，$0 ＜ y ＜ 1$，$x^{2} + y^{2} = 1$.
$\because x^{2} + y^{2} = 1$，$(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy ＞ 1$，$\therefore x + y ＞ 1$.由三
角函数的定义可知$\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\therefore\sin\alpha + \cos\alpha ＞ 1$.