《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

12. 已知关于$x$的不等式$(mx - 1)(x - 2)＞0$，若此不等式的解集为$\left\{x\left|\dfrac{1}{m}＜x＜2\right.\right\}$，则$m$的取值范围是$\{m \mid m ＜ 0\}$.

答案： 12. $\{m \mid m ＜ 0\}$

13. 解下列不等式：
（1）$4(2x^{2}-2x + 1)＞x(4 - x)$；
（2）$0\leqslant x^{2}-2x - 3＜5$.

答案： 13. 解：
(1)由原不等式得$8x^{2}-8x + 4 ＞ 4x - x^{2}$，$\therefore$原不等式等价于$9x^{2}-12x + 4 ＞ 0$。解方程$9x^{2}-12x + 4 = 0$，得$x_{1}=x_{2}=\frac{2}{3}$。结合二次函数$y = 9x^{2}-12x + 4$的图象知，原不等式的解集为$\{x \mid x \neq \frac{2}{3}\}$。
(2)由$x^{2}-2x - 3 \geq 0$得$x \leq -1$，或$x \geq 3$；由$x^{2}-2x - 3 ＜ 5$得$-2 ＜ x ＜ 4$，$\therefore -2 ＜ x \leq -1$，或$3 \leq x ＜ 4$，$\therefore$原不等式的解集为$\{x \mid -2 ＜ x \leq -1$，或$3 \leq x ＜ 4\}$。

14. （2024·河北唐山十县一中联盟高一期中）已知关于$x$的不等式$kx^{2}+(k - 2)x - 2＜0$.
（1）当$k = 3$时，求不等式的解集；
（2）当$k＜0$时，求不等式的解集.

答案： 14. 解：
(1)当$k = 3$时，即$(x + 1)\cdot(3x - 2) ＜ 0$，解得$-1 ＜ x ＜ \frac{2}{3}$，$\therefore$原不等式的解集为$\{x \mid -1 ＜ x ＜ \frac{2}{3}\}$。
(2)不等式可化为$(kx - 2)(x + 1) ＜ 0$，$\because k ＜ 0$，$\therefore$有$(x - \frac{2}{k})(x + 1) ＞ 0$，①当$\frac{2}{k} = -1$，即$k = -2$时，不等式为$(x + 1)^{2} ＞ 0$，解得$x \neq -1$；②当$\frac{2}{k} ＞ -1$，即$k ＜ -2$时，解得$x ＜ -1$，或$x ＞ \frac{2}{k}$；③当$\frac{2}{k} ＜ -1$，即$-2 ＜ k ＜ 0$时，解得$x ＜ \frac{2}{k}$，或$x ＞ -1$。综上，当$k ＜ -2$时，不等式的解集为$\{x \mid x ＜ -1$，或$x ＞ \frac{2}{k}\}$；当$k = -2$时，不等式的解集为$\{x \mid x \neq -1\}$；当$-2 ＜ k ＜ 0$时，不等式的解集为$\{x \mid x ＜ \frac{2}{k}$，或$x ＞ -1\}$。

15. (多选)若关于$x$的不等式$x^{2}+(a - 2)\cdot x - 2a＜0$的解集中恰有两个整数，则$a$的值可能为(BD)

A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$0$
D.$1$

答案： 15. BD

16. （2024·北京十一学校高一期中）解关于$x$的不等式$x^{2}-2tx + 1＞0$.

答案： 16. 解：$\Delta = 4t^{2}-4 = 4(t^{2}-1) = 4(t - 1)(t + 1)$，当$\Delta ＜ 0$，即$-1 ＜ t ＜ 1$时，不等式$x^{2}-2tx + 1 ＞ 0$的解集为$\mathbf{R}$；当$\Delta = 0$时，$t = 1$，或$t = -1$，当$t = 1$时，不等式即为$x^{2}-2x + 1 = (x - 1)^{2} ＞ 0$，可得$x \neq 1$，当$t = -1$时，不等式即为$x^{2}+2x + 1 = (x + 1)^{2} ＞ 0$，可得$x \neq -1$；当$\Delta ＞ 0$，即$t ＜ -1$，或$t ＞ 1$时，方程$x^{2}-2tx + 1 = 0$有两根$x_{1}=t - \sqrt{t^{2}-1}$，或$x_{2}=t + \sqrt{t^{2}-1}$，此时不等式$x^{2}-2tx + 1 ＞ 0$的解为$x ＜ t - \sqrt{t^{2}-1}$，或$x ＞ t + \sqrt{t^{2}-1}$。
综上，当$-1 ＜ t ＜ 1$时，不等式$x^{2}-2tx + 1 ＞ 0$的解集为$\mathbf{R}$；当$t = 1$时，不等式$x^{2}-2tx + 1 ＞ 0$的解集为$\{x \mid x \neq 1\}$；当$t = -1$时，不等式$x^{2}-2tx + 1 ＞ 0$的解集为$\{x \mid x \neq -1\}$；当$t ＜ -1$，或$t ＞ 1$时，不等式$x^{2}-2tx + 1 ＞ 0$的解集为$\{x \mid x ＜ t - \sqrt{t^{2}-1}$，或$x ＞ t + \sqrt{t^{2}-1}\}$。