《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

12. 为给教室消毒，工作人员向教室内喷洒某消毒液，已知该消毒液的浓度 $ C $(单位：$ \mathrm{mg/L} $)随时间 $ t $(单位：$ \mathrm{min} $)的变化关系为 $ C = \frac{20t}{t^2 + 25} $，则经过5 $ \mathrm{min} $ 后教室内消毒液的浓度达到最大。

答案： 12.5

13. （1）设 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且 $ a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $，证明：$ a + b \geq 2 $；
（2）已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为不全相等的正实数，证明：$ a + b + c ＞ \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} $。

答案： 13. （1）由$a＞0,b＞0$，得$a+b＞0$，$\because a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，$\therefore ab=1$，$\therefore a+b\geqslant2\sqrt{ab}=2$，当且仅当$a=b=1$时取等号，$\therefore a+b\geqslant2$。
（2）$\because a＞0,b＞0,c＞0$，$\therefore\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取等号），$\frac{b+c}{2}\geqslant\sqrt{bc}$（当且仅当$b=c$时取等号），$\frac{c+a}{2}\geqslant\sqrt{ca}$（当且仅当$a=c$时取等号），$\therefore\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\geqslant\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$（当且仅当$a=b=c$时取等号），即$a+b+c\geqslant\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$。$\because a,b,c$不全相等，$\therefore$等号不成立，$\therefore a+b+c＞\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$。

14. 某公司设计了如下的绿化景观地带，这块绿化景观地带内圈周长为 $ 400 \mathrm{m} $，两条平行线段的两端用半圆弧相连接，两条平行线段的长为 $ 100 \mathrm{m} $，这样设计有什么好处？你能说出这样设计的理由吗？

答案： 14. 设矩形的长为$x$m，半圆的直径为$d$m，中间矩形的面积是$S$m²，则$S=dx$，且$2x+\pi d=400$，
$\therefore S=dx=\frac{1}{2\pi}\cdot\pi d\cdot2x\leqslant\frac{1}{2\pi}×(\frac{\pi d+2x}{2})^2=\frac{20000}{\pi}$，当且仅当$\pi d=2x=200$，即$x=100,d=\frac{200}{\pi}$时，等号成立。因此这样设计的一个好处是此时中间矩形的面积最大。

15. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买 $ 10 \mathrm{g} $ 黄金，售货员先将 $ 5 \mathrm{g} $ 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 $ 5 \mathrm{g} $ 的砝码放在天平右盘中，又取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金是(A)

A.大于 $ 10 \mathrm{g} $
B.大于或等于 $ 10 \mathrm{g} $
C.小于 $ 10 \mathrm{g} $
D.小于或等于 $ 10 \mathrm{g} $

答案： 15.A

16. (2024·无锡一中高一检测)“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图 1)的两直角边长分别为 $ a $ 和 $ b $，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长。”公元 $ 263 $ 年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用“出入相补”原理给出了上述问题如图 2 和图 3 所示的解答，则图 1 中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为\frac{ab}{a+b}，当内接正方形的面积为 $ 1 $ 时，图 3 中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值是2。

答案： 16.$\frac{ab}{a+b}$ 2