《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 一种占据内存的计算机病毒 $ A $，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存 $ 2 KB $，每 $ 5 $分钟后病毒所占内存是原来的 $ 2 $倍.记 $ x $分钟后的病毒所占内存为 $ y KB $.如果病毒所占内存不超过 $ 1 GB $（$ 1 GB = 2^{10} MB $，$ 1 MB = 2^{10} KB $）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.

答案： 13. 解：
∵这种病毒开机时占据内存2KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍，
∴x分钟后的病毒所占内存为$2^{\frac{x}{5}+1}，$得$y=2^{\frac{x}{5}+1}(x\in\mathbf{R}^{+})，$
∵病毒所占内存不超过1GB时，计算机能够正常使用，
∴$2^{\frac{x}{5}+1}\leq2^{20}，$解得$x\leq95，$
∴本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟.

14. 已知函数 $ f(x) = (a^{2} + a - 5)a^{x} $是指数函数.
（1）求 $ f(x) $的表达式；
（2）判断 $ F(x) = \frac{(f(x))^{2} - 1}{f(x)} $的奇偶性，并加以证明.

答案： 14. 解：
(1)由$a^{2}+a - 5 = 1，$a＞0，且$a\neq1，$可得a = 2，或a = - 3（舍去），
∴$f(x)=2^{x}.(2)F(x)=\frac{(f(x))^{2}-1}{f(x)}$是奇函数.证明：
∵F(x)的定义域是$\mathbf{R}，$关于原点对称，且$F(x)=\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{2^{x}}=2^{x}-2^{-x}，$
∴$F(-x)=2^{-x}-2^{x}=-(2^{x}-2^{-x})=-F(x)，$
∴F(x)是奇函数.

15. 已知函数 $ f(x) $为实数集上的增函数，且满足 $ f(f(x) - 2^{x}) = 3 $，则 $ f(2) $等于(C)

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： 15. C

16. 已知函数 $ f(x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2} $，$ x \in \mathbf{R} $.
（1）求 $ f(a) + f(1 - a) $的值；
（2）求 $ f(\frac{1}{2025}) + f(\frac{2}{2025}) + f(\frac{3}{2025}) + \cdots + f(\frac{2024}{2025}) $的值.

答案： 16. 解：
(1)
∵$f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}，$$x\in\mathbf{R}，$
∴$f(a)+f(1 - a)=\frac{4^{a}}{4^{a}+2}+\frac{4^{1 - a}}{4^{1 - a}+2}=\frac{4^{a}}{4^{a}+2}+\frac{\frac{4}{4^{a}}}{\frac{4}{4^{a}}+2}=\frac{4^{a}}{4^{a}+2}+\frac{4}{4 + 2\cdot4^{a}}=1.(2)$设$S=f(\frac{1}{2025})+f(\frac{2}{2025})+f(\frac{3}{2025})+\cdots +f(\frac{2024}{2025})，$则$S=f(\frac{2024}{2025})+\cdots +f(\frac{3}{2025})+f(\frac{2}{2025})+f(\frac{1}{2025})，$两式相加得$2S=[f(\frac{1}{2025})+f(\frac{2024}{2025})]+[f(\frac{2}{2025})+f(\frac{2023}{2025})]+\cdots+[f(\frac{2024}{2025})+f(\frac{1}{2025})].$由
(1)得$f(\frac{1}{2025})+f(\frac{2024}{2025})=1，$$f(\frac{2}{2025})+f(\frac{2023}{2025})=1，$$\cdots，$$f(\frac{2024}{2025})+f(\frac{1}{2025})=1，$
∴2S = 2024，解得S = 1012.