《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. （2025·云南昆明高一检测）已知集合 $ A = \{ x | - 1 \leq x \leq 4 \} $，$ B = \{ x | x ＜ 1 $，或 $ x ＞ 5 \} $.
（1）若全集 $ U = \mathbf { R } $，求 $ A \cap B $，$ ( \complement _ { U } A ) \cap B $；
（2）若全集 $ U = A \cup B $，求 $ A \cap ( \complement _ { U } B ) $.

答案： 1. （1）
求$A\cap B$：
已知$A = \{ x|-1\leq x\leq4\}$，$B=\{ x|x\lt1或x\gt5\}$。
根据交集的定义$A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}$，可得$A\cap B = \{ x|-1\leq x\lt1\}$。
求$\complement_U A$：
因为$U = R$，$\complement_U A=\{x|x\lt - 1或x\gt4\}$（根据补集定义$\complement_U A=\{x|x\in U且x\notin A\}$）。
再求$(\complement_U A)\cap B$：
根据交集定义$(\complement_U A)\cap B=\{x|x\in\complement_U A且x\in B\}$。
由于$\complement_U A=\{x|x\lt - 1或x\gt4\}$，$B = \{ x|x\lt1或x\gt5\}$，所以$(\complement_U A)\cap B=\{x|x\lt - 1或x\gt5\}$。
2. （2）
先求$U = A\cup B$：
根据并集定义$A\cup B=\{x|x\leq4或x\gt5\}$（$A = \{ x|-1\leq x\leq4\}$，$B=\{ x|x\lt1或x\gt5\}$）。
再求$\complement_U B$：
根据补集定义$\complement_U B=\{x|1\leq x\leq5\}$（因为$U=\{x|x\leq4或x\gt5\}$，$B = \{ x|x\lt1或x\gt5\}$）。
最后求$A\cap(\complement_U B)$：
已知$A = \{ x|-1\leq x\leq4\}$，$\complement_U B=\{x|1\leq x\leq5\}$。
根据交集定义$A\cap(\complement_U B)=\{x|1\leq x\leq4\}$。
综上，（1）$A\cap B=\{ x|-1\leq x\lt1\}$，$(\complement_U A)\cap B=\{x|x\lt - 1或x\gt5\}$；（2）$A\cap(\complement_U B)=\{x|1\leq x\leq4\}$。

14. 设全集 $ U = \mathbf { R } $，集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } + 4 x + a = 0 \} $，$ B = \{ x | x ^ { 2 } + b x - 2 = 0 \} $.
（1）若集合 $ A $ 中恰有一个元素，求实数 $ a $ 的值；
（2）若 $ ( \complement _ { U } A ) \cap B = \{ 2 \} $，$ ( \complement _ { U } B ) \cap A = \{ - 3 \} $，求 $ A \cup B $.

答案： $(1)$ 求实数$a$的值
解：
因为集合$A$中恰有一个元素，对于一元二次方程$x^{2}+4x + a = 0$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$（在方程$x^{2}+4x + a = 0$中，$a = 1$，$b = 4$，$c = a$）。
当$\Delta = 0$时，方程有且仅有一个解，即集合$A$中恰有一个元素。
由$\Delta=4^{2}-4×1× a = 0$，
即$16 - 4a = 0$，
移项可得$4a = 16$，
解得$a = 4$。
$(2)$ 求$A\cup B$
解：
因为$(\complement_{U}A)\cap B=\{2\}$，所以$2\in B$，将$x = 2$代入$x^{2}+bx - 2 = 0$，得$2^{2}+2b-2 = 0$，
即$4 + 2b - 2 = 0$，
$2b=-2$，
解得$b=-1$。
此时$B=\{x|x^{2}-x - 2 = 0\}$，解方程$x^{2}-x - 2 = 0$，即$(x - 2)(x + 1)=0$，
可得$x = 2$或$x=-1$，所以$B=\{-1,2\}$。
因为$(\complement_{U}B)\cap A=\{-3\}$，所以$-3\in A$，将$x=-3$代入$x^{2}+4x + a = 0$，得$(-3)^{2}+4×(-3)+a = 0$，
即$9-12 + a = 0$，
解得$a = 3$。
此时$A=\{x|x^{2}+4x + 3 = 0\}$，解方程$x^{2}+4x + 3 = 0$，即$(x + 1)(x + 3)=0$，
可得$x=-1$或$x=-3$，所以$A=\{-3,-1\}$。
所以$A\cup B=\{-3,-1,2\}$。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{a = 4}$；$(2)$$\boldsymbol{A\cup B=\{-3,-1,2\}}$。

15. 某社区需要招募志愿者进行连续 $ 3 $ 天的消防安全宣传工作，第一天有 $ 19 $ 人参加，第二天有 $ 13 $ 人参加，第三天有 $ 18 $ 人参加，其中，前两天都参加的有 $ 3 $ 人，后两天都参加的有 $ 4 $ 人，则这三天的志愿者总人数最少为29.

答案： 15.29

16. （2024·杭州高一期中）定义 $ 1 $：通常，我们把一个以集合作为元素的集合称为族.定义 $ 2 $：集合 $ X $ 上的一个拓扑是以 $ X $ 的子集为元素的一个族 $ \Gamma $，它满足以下条件：① $ \varnothing $ 和 $ X $ 在 $ \Gamma $ 中；② $ \Gamma $ 的任意子集的元素的并集在 $ \Gamma $ 中；③ $ \Gamma $ 的任意有限子集的元素的交集在 $ \Gamma $ 中.
（1）若族 $ P = \{ \varnothing, X \} $，族 $ Q = \{ x | x \subseteq X \} $，判断族 $ P $ 与族 $ Q $ 是否为集合 $ X $ 的拓扑？
（2）设有限集 $ X $ 为全集，证明：$ \complement _ { X } ( A _ { 1 } \cap A _ { 2 } \cap \cdots \cap A _ { n } ) = ( \complement _ { X } A _ { 1 } ) \cup ( \complement _ { X } A _ { 2 } ) \cup \cdots \cup ( \complement _ { X } A _ { n } ) ( n \in \mathbf { N } ^ { * }, n \geq 2 ) $.

答案： 16.
(1)解：族$P=\{\varnothing，X\}，$族$Q=\{x \mid x⊆X\}$都是集合X的拓扑。
(2)证明：设$x∈∁_X(A_1∩A_2∩\cdots∩A_n)，$则$x∉(A_1∩A_2∩\cdots∩A_n)，$故存在整数$i(1\leqslant i\leqslant n)，$使得x∉A_i，
∴x∈∁_XA_i，得$x∈[(∁_XA_1)∪(∁_XA_2)∪\cdots∪(∁_XA_n)]。$
设$x∈[(∁_XA_1)∪(∁_XA_2)∪\cdots∪(∁_XA_n)]，$则存在整数$j(1\leqslant j\leqslant n)，$使得x∈∁_XA_j，故x∉A_j，
∴$x∉(A_1∩A_2∩\cdots∩A_n)，$得$x∈∁_X(A_1∩A_2∩\cdots∩A_n)，$故$∁_X(A_1∩A_2∩\cdots∩A_n)=(∁_XA_1)∪(∁_XA_2)∪\cdots∪(∁_XA_n)(n∈N^*，$$n\geqslant 2)。$