《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 用二分法求方程 $ 6 - 3x = 2^{x} $ 在区间 $ (1,2) $ 内的近似解（精确度为 $ 0.1 $）.
参考数据如下：

答案： 13.解：设函数$f(x)=2^{x}+3x-6$，则$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数，方程$6 - 3x = 2^{x}$的解为$x_{0}$，则$x_{0} \in (1,2)$，$\because f(1)= - 1 ＜ 0$，$f(2)=4 ＞ 0$，$f(1.5) \approx 1.33 ＞ 0$，$\therefore f(1) \cdot f(1.5) ＜ 0$，$\therefore x_{0} \in (1,1.5)$．$\because f(1.25) \approx 0.13 ＞ 0$，$\therefore f(1) \cdot f(1.25) ＜ 0$，$\therefore x_{0} \in (1,1.25)$．$\because f(1.125) \approx - 0.445 ＜ 0$，$\therefore f(1.125) \cdot f(1.25) ＜ 0$，$\therefore x_{0} \in (1.125,1.25)$．$\because f(1.1875)= - 0.1575 ＜ 0$，$\therefore f(1.1875) \cdot f(1.25) ＜ 0$，$\therefore x_{0} \in (1.1875,1.25)$．$\because |1.25 - 1.1875| = 0.0625 ＜ 0.1$，$\therefore$方程$6 - 3x = 2^{x}$在区间$(1,2)$内的近似解可以为$1.2$．

14. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + 1 $.
（1）证明：方程 $ f(x) = 0 $ 在区间 $ (0,2) $ 内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程 $ f(x) = 0(x \in [0,2]) $ 的实数解 $ x_{0} $ 在哪个较小的区间内.

答案： 14.
(1)证明：$\because f(0)=1 ＞ 0$，$f(2)= - \frac{1}{3} ＜ 0$，$\therefore f(0) \cdot f(2) ＜ 0$，$\therefore f(x)=0$在区间$(0,2)$内有实数解．
(2)解：取$x_{1}=\frac{1}{2} × (0 + 2)=1$，得$f(1)=\frac{1}{3} ＞ 0$，由此可得$f(1) \cdot f(2) ＜ 0$，下一个有解区间为$(1,2)$．再取$x_{2}=\frac{1}{2} × (1 + 2)=\frac{3}{2}$，得$f(\frac{3}{2})= - \frac{1}{8} ＜ 0$，$\therefore f(1) \cdot f(\frac{3}{2}) ＜ 0$，下一个有解区间为$(1,\frac{3}{2})$．再取$x_{3}=\frac{1}{2} × (1 + \frac{3}{2})=\frac{5}{4}$，得$f(\frac{5}{4})=\frac{17}{192} ＞ 0$，$\therefore f(\frac{5}{4}) \cdot f(\frac{3}{2}) ＜ 0$，下一个有解区间为$(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$．综上，所求的实数解$x_{0}$在区间$(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$内．

15. 利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表：

若方程 $ 2^{x} = x^{2} $ 有一个根位于区间 $ (a,a + 0.4) $(其中实数 $ a $ 在表格第一行里的数据中取值)内，则 $ a $ 的值为$-1$或$-0.8$.

答案： 15.$-1$或$-0.8$

16. 已知 $ f(x) = \ln x + x - 2 $， $ g(x) = e^{x} + x $.
（1）通过二分法且满足精确度为 $ 0.5 $，求方程 $ f(x) = 0 $ 的近似解（结果精确到 $ 0.1 $）.
（2）设 $ f(x_{1}) = 0 $， $ g(x_{2}) = 0 $，证明： $ x_{1}x_{2} \gt -e $.

答案： 16.解：
(1)由解析式知$f(x)$在$(0, + \infty)$上单调递增，$f(1)=\ln 1 + 1 - 2 = - 1 ＜ 0$，$f(2)=\ln 2 + 2 - 2 = \ln 2 ＞ 0$，令$x = \frac{1 + 2}{2}=\frac{3}{2}$，则$f(\frac{3}{2})=\ln \frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2=\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\ln \frac{3}{2\sqrt{e}}=\ln \sqrt{\frac{9}{4e}} ＜ 0$，$x = \frac{\frac{3}{2} + 2}{2}=\frac{7}{4}$，则$f(\frac{7}{4})=\ln \frac{7}{4}+\frac{7}{4}-2=\ln \frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\ln \sqrt[4]{\frac{2401}{256e}} ＞ 0$，又$\frac{7}{4} ＜ 0.5$，且$\ln \sqrt{\frac{9}{4e}}=\ln \sqrt{\frac{81}{16e^{2}}}=\ln \sqrt[4]{\frac{16e^{2}}{81}×\frac{81^{2}}{16e^{2} × 1}}=\ln \sqrt[4]{\frac{16e^{2}}{81}}$，$1 ＜ \frac{16e^{2}}{81} ＜ \frac{2401}{256e}$，$\therefore x = \frac{3}{2}$更接近零点，故方程$f(x)=0$的近似解为$1.5$．
(2)由题设$\begin{cases} \ln x_{1} + x_{1} = 2, \\ e^{x_{2}} + x_{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \ln x_{1} = 2 - x_{1}, \\ \ln( - x_{2}) = x_{2}, \end{cases}$故$\ln x_{1} + \ln( - x_{2}) = \ln( - x_{1}x_{2}) = 2 - x_{1} + x_{2}$，且$x_{2} ＜ 0$，要证$x_{1}x_{2} ＞ - e$，只需证$2 - x_{1} + x_{2} ＜ 1$，即$x_{2} ＜ x_{1} - 1$，由
(1)知$x_{1} \in (\frac{3}{2},\frac{7}{4})$，显然$x_{2} ＜ x_{1} - 1$成立．综上，$x_{1}x_{2} ＞ - e$，得证．