《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

10. 已知二次函数 $ f(x) $ 的图象经过点 $ (-3,2) $，顶点是 $ (-2,3) $，则函数 $ f(x) $ 的解析式为f(x)=-x² - 4x - 1。

答案： 10.f(x)=-x² - 4x - 1

11. 已知函数 $ F(x)=f(x)+g(x) $，其中 $ f(x) $ 是 $ x $ 的正比例函数，$ g(x) $ 是 $ x $ 的反比例函数，且 $ F\left(\frac{1}{3}\right)=16 $，$ F(1)=8 $，则函数 $ F(x) $ 的解析式为F(x)=3x + $\frac{5}{x}$(x≠0)。

答案： 11.F(x)=3x + $\frac{5}{x}$(x≠0)

12. 已知函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x)+2f(3 - x)=x^{2} $，则函数 $ f(x) $ 的解析式为f(x)=$\frac{1}{3}$x² - 4x + 6。

答案： 12.f(x)=$\frac{1}{3}$x² - 4x + 6

13. 将一条长为 $ 10\mathrm{cm} $ 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。试用函数的三种表示法表示两个正方形的面积之和 $ S $ 与其中一段铁丝的长 $ x(x\in\mathbf{N}^{*}) $ 的函数关系。

答案：
13.解：这个函数的定义域为{x|1≤x＜10,x∈N*}。
方法一（解析法）：S = ($\frac{x}{4}$)² + ($\frac{10 - x}{4}$)²，整理得S = $\frac{1}{8}$x² - $\frac{5}{4}$x + $\frac{25}{4}$,x∈{x|1≤x＜10,x∈N*}。
方法二（列表法）
x：1 2 3 4 5 6 7 8 9
S：$\frac{41}{8}$ $\frac{17}{4}$ $\frac{29}{8}$ $\frac{13}{4}$ 2 $\frac{25}{8}$ $\frac{13}{4}$ $\frac{29}{8}$ $\frac{17}{4}$ $\frac{41}{8}$
方法三（图象法）

14. （1）已知二次函数 $ f(x) $ 满足 $ f(0)=1 $，且 $ f(x + 1)-f(x)=2x $，求函数 $ f(x) $ 的解析式；
（2）已知 $ f(\sqrt{x}+2)=x + 4\sqrt{x} $，求函数 $ f(x) $ 的解析式；
（3）已知函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x)+3f(-x)=2x^{2}-4x $，求函数 $ f(x) $ 的解析式；
（4）已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，$ f(0)=1 $，并且对任意的实数 $ x $，$ y $ 都有 $ f(x - y)=f(x)-y(2x - y + 1) $，求函数 $ f(x) $ 的解析式。

答案： 14.解：
(1)由题意设f(x)=ax² + bx + c(a≠0)，
∵f
(0)=1，
∴c = 1。又f(x + 1) - f(x)=2x，
∴a(x + 1)² + b(x + 1) + 1 - (ax² + bx + 1)=2x，即2ax + a + b = 2x，
∴$\begin{cases}2a = 2\\a + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$，
∴f(x)=x² - x + 1。
(2)令t = $\sqrt{x}$ + 2，则x = (t - 2)²，t≥2，故f(t)=(t - 2)² + 4(t - 2)=t² - 4，t≥2，
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x² - 4(x≥2)。
(3)
∵f(x)+3f(-x)=2x² - 4x，
∴f(-x)+3f(x)=2(-x)² - 4(-x)=2x² + 4x，两式联立消去f(-x)，可得f(x)=$\frac{1}{2}$x² + 2x。
(4)令y = x，则f(x - x)=f
(0)=f(x)-x(2x - x + 1)=1，
∴f(x)=x² + x + 1。

15. 已知 $ f_{1}(x)=\frac{1 - x}{x + 1} $，对于一切正整数 $ n $，都有 $ f_{n + 1}(x)=f_{1}[f_{n}(x)] $，若 $ f_{3}(x_{0})=f_{6}(x_{0}) $，则 $ f_{28}(x_{0})= $-1±$\sqrt{2}$。

答案： 15.-1±$\sqrt{2}$

16. 已知函数 $ f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2} $，是否存在实数 $ m $，使得函数的定义域和值域都是 $ [1,m](m\gt 1) $。若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。

答案： 16.解：存在.理由如下：
f(x)=$\frac{1}{2}$x² - x + $\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$(x - 1)² + 1的对称轴为直线x = 1，顶点为(1,1)且开口向上。
∵m＞1，
∴当x∈[1,m]时，y随x的增大而增大，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1,m]，则有$\begin{cases}f(1)=1\\f(m)=m\end{cases}$，
∴$\frac{1}{2}$m² - m + $\frac{3}{2}$ = m，即m² - 4m + 3 = 0，
∴m = 3，或m = 1(舍去)，
∴存在实数m = 3满足条件。