《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 求下列函数的定义域、值域：
(1) $ y = 0.3^{\frac{1}{x - 1}} $；(2) $ y = 3^{\sqrt{5x - 1}} $.

答案： 13.解：
(1)由$x - 1 \neq 0$得$x \neq 1$，$\therefore$函数定义域为$\{x \mid x \neq 1\}$。由$\frac{1}{x - 1} \neq 0$得$y \neq 1$，$\therefore$函数值域为$\{y \mid y ＞ 0$，且$y \neq 1\}$。
(2)由$5x - 1 \geqslant 0$得$x \geqslant \frac{1}{5}$，$\therefore$函数定义域为$\{x \mid x \geqslant \frac{1}{5}\}$。由$\sqrt{5x - 1} \geqslant 0$得$y \geqslant 1$，$\therefore$函数值域为$\{y \mid y \geqslant 1\}$。

14. 已知函数 $ f(x) = a^{x} $，$ g(x) = (\frac{1}{a})^{x} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $），$ f(-1) = \frac{1}{2} $.
(1) 求 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的函数解析式；
(2) 在同一坐标系中画出函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的图象；
(3) 若 $ f(x) ＜ g(x) $，请直接写出 $ x $ 的取值范围.
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答案：
14.解：
(1)$\because f(-1) = a^{-1} = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$，$\therefore a = 2$，$\therefore f(x) = 2^x$，$g(x) = (\frac{1}{2})^x$。
(2)在同一坐标系中画出函数$f(x)$和$g(x)$的图象如图所示。

(3)由图象知，当$f(x) ＜ g(x)$时，$x$的取值范围是$\{x \mid x ＜ 0\}$。

15.(多选)某数学课外兴趣小组对函数 $ f(x) = 2^{|x - 1|} $ 的图象与性质进行了探究，则下列结论中，正确的有(CD)

A.该函数的值域为 $ (0, +\infty) $
B.该函数在区间 $ [0, +\infty) $ 上单调递增
C.该函数的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称
D.该函数的图象与直线 $ y = -a^{2} $($ a \in \mathbf{R} $)不可能有交点

答案： 15.CD

16. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^{2} + 2x + 1, & x \leq 0, \\ 2^{-x}, & x ＞ 0, \end{cases} $ 若存在 $ x_{1}, x_{2}, x_{3} $($ x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} $)，使 $ f(x_{1}) = f(x_{2}) = f(x_{3}) $，则 $ f(x_{1} + x_{2} + x_{3}) $ 的取值范围是(B)

A.$ (0, 1] $
B.$ [0, 1] $
C.$ (-\infty, 1] $
D.$ (-\infty, 1) $

答案： 16.B