《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

11. (2024·湛江高一期中)已知幂函数 $ f(x)=\left(\alpha^{2}-\frac{7}{2}\alpha+\frac{5}{2}\right)x^{\alpha} $ 的图象经过第三象限，则 $ \alpha= $3.

答案： 11.3

12. 郭老师在黑板上写出了一个函数 $ f(x) $，请三名同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为 $ (-\infty,0)\cup(0,+\infty) $；③在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减.郭老师说其中有一名同学的结论是错误的，另两名同学的结论是正确的.请你写出一个这样的函数：$ f(x)= $x^{-2}.

答案： 12.$x^{-2}$(答案不唯一)

13. 比较下列各组数的大小：
（1）$ 5.3^{-5} $ 和 $ 5.4^{-5} $；（2）$ -8^{-3} $ 和 $ -\left(\frac{1}{9}\right)^{3} $；（3）$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} $ 和 $ \left(-\frac{\pi}{6}\right)^{-2} $.

答案： 13. 解：
(1)函数$y = x^{-5}$在$(0, +\infty)$上单调递减，$\because 5.3 ＜ 5.4$，
$\therefore 5.3^{-5} ＞ 5.4^{-5}$。
(2)$-8^{-3} = -(\frac{1}{8})^{3}$，函数$y = x^{3}$在$(0, +\infty)$上单调递增，
$\because \frac{1}{8} ＞ \frac{1}{9}$，$\therefore (\frac{1}{8})^{3} ＞ (\frac{1}{9})^{3}$，$\therefore -8^{-3} ＜ -(\frac{1}{9})^{3}$。
(3)$(-\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{2}{3})^{-2}$，$(-\frac{\pi}{6})^{-2} = (\frac{\pi}{6})^{-2}$，函数$y = x^{-2}$在$(0, +\infty)$上单调递减，$\because \frac{2}{3} ＞ \frac{\pi}{6}$，
$\therefore (\frac{2}{3})^{-2} ＜ (\frac{\pi}{6})^{-2}$，即$(-\frac{2}{3})^{-2} ＜ (-\frac{\pi}{6})^{-2}$。

14. 已知幂函数 $ f(x)=(k^{2}-k - 1)x^{k}(k\in\mathbf{R}) $，且在区间 $ (0,+\infty) $ 上函数图象是上升的.
（1）求实数 $ k $ 的值；
（2）若存在实数 $ a,b $ 使得函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上的取值范围是 $ [a,b] $，求实数 $ a,b $ 的值.

答案： 14. 解：
(1)$\because f(x) = (k^{2} - k - 1)x^{k}(k \in \mathbf{R})$为幂函数，$\therefore k^{2} - k - 1 = 1$，解得$k = -1$，或$k = 2$，又$f(x)$在区间$(0, +\infty)$内的函数图象是上升的，$\therefore k ＞ 0$，$\therefore k = 2$。
(2)$\because$存在实数$a$，$b$使得函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的取值范围是$[a, b]$，且$f(x) = x^{2}$，$\therefore \begin{cases} f(a) = a \\ f(b) = b \end{cases}$，$\because a ＜ b$，$\therefore \begin{cases} a = 0 \\ b = 1 \end{cases}$。

15. (2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中)设函数 $ \varphi(x) $ 的定义域为 $ D $，如果存在区间 $ [a,b]\in D $，使得 $ \varphi(x) $ 在 $ [a,b] $ 上的取值范围是 $ [a,b] $ 且单调，则称 $ [a,b] $ 为函数 $ \varphi(x) $ 的保值区间.已知幂函数 $ f(x)=(p^{2}+p - 1)x^{p-\frac{1}{2}} $ 在 $ (0,+\infty) $ 上单调递增.
(1)函数 $ f(x) $ 的解析式为 $ f(x)= $√x；
(2)若函数 $ \varphi(x)=2f(x + 1)-k $ 存在保值区间，则实数 $ k $ 的取值范围是[1, 2).

答案： 15.
(1)$\sqrt{x}$
(2)$[1, 2)$

16. 已知幂函数 $ f(x)=x^{2 - k}(k\in\mathbf{N}^{*}) $ 满足 $ f(2)＜f(3) $.
（1）求实数 $ k $ 的值，并写出相应的函数 $ f(x) $ 的解析式；
（2）对于（1）中的函数 $ f(x) $，试判断是否存在正数 $ m $，使函数 $ g(x)=1 - mf(x)+(2m - 1)x $ 在区间 $ [0,1] $ 上的最大值为 $ 5 $.若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 16. 解：
(1)对于幂函数$f(x) = x^{2 - k}(k \in \mathbf{N}^{*})$，满足$f(2) ＜ f(3)$，
因此$2 - k ＞ 0$，解得$k ＜ 2$。$\because k \in \mathbf{N}^{*}$，$\therefore k = 1$，$f(x) = x$。
(2)由
(1)知，$g(x) = 1 + (m - 1)x$，当$m ＞ 1$时，函数$g(x)$为增函数，故最大值为$g(1) = m = 5$。当$0 ＜ m ＜ 1$时，函数$g(x)$为减函数，故最大值为$g(0) = 1 \neq 5$，不成立。当$m = 1$时，$g(x) = 1$，不合题意。综上所述，$m = 5$。