《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ 2 k x^{2}+k x-\frac{3}{8}＜0 $.
（1）若不等式的解集为 $ \left(-\frac{3}{2}, 1\right) $，求实数 $ k $ 的值；
（2）若不等式对任意 $ x \in \mathbf{R} $ 恒成立，求实数 $ k $ 的取值范围.

答案： 13. 解：
(1)若关于$x$的不等式$2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}＜0$的解集为$\left(-\frac{3}{2},1\right)$，则$-\frac{3}{2}$和$1$是$2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}=0$的两个实数根，且$k＞0$，由根与系数的关系得$-\frac{3}{2}×1=-\frac{3}{8}÷2k$，解得$k=\frac{1}{8}$。
(2)当$k=0$时，$-\frac{3}{8}＜0$恒成立，满足题意；当$k\neq0$时，则有$\begin{cases}2k＜0,\\\Delta=k^{2}+3k＜0,\end{cases}$解得$-3＜k＜0$。$\therefore$实数$k$的取值范围是$(-3,0]$。

14. （2024·福州十五中高一期中）已知函数 $ y=x^{2}-3 x+b $，不等式 $ y＜0 $ 的解集为 $ \{x \mid 1＜x＜t\} $，$ b, t \in \mathbf{R} $.
（1）求 $ b $ 和 $ t $ 的值；
（2）若当 $ 1 \leqslant x \leqslant 4 $ 时，函数 $ y=x^{2}-3 x+b $ 的图象恒在 $ y=k x^{2} $ 图象的上方，求实数 $ k $ 的取值范围.

答案： 14. 解：
(1)$\because$不等式$y＜0$的解集为$\{x\mid1＜x＜t\}$，$\therefore1$和$t$为方程$x^{2}-3x+b=0$的两个实数根，$\therefore\begin{cases}1× t=b,\\1+t=3,\end{cases}$解得$b=t=2$。
(2)由题意知当$1\leqslant x\leqslant4$时，$x^{2}-3x+2＞kx^{2}$恒成立，两边同除以$x^{2}$得，$k＜\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{x}+1$。令$n=\frac{1}{x}$，则上述不等式等价于$k＜2n^{2}-3n+1$，$\frac{1}{4}\leqslant n\leqslant1$，$\therefore$有$k＜(2n^{2}-3n+1)_{\min}$，令$s=2n^{2}-3n+1=2\left(n-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}\leqslant n\leqslant1$，$\therefore$当$n=\frac{3}{4}$时，$s_{\min}=-\frac{1}{8}$，$\therefore$实数$k$的取值范围是$k＜-\frac{1}{8}$。

15. 若当 $ 1 \leqslant x \leqslant 4 $ 时，关于 $ x $ 的不等式 $ x^{2}-(m+1) x+9 \leqslant 0 $ 有解，则实数 $ m $ 的最小值是(B)

A.9
B.5
C.6
D.$ \frac{21}{4} $

答案： 15.B

16. 已知不等式 $ x^{2}+8 y^{2} \geqslant \lambda y(x+y) $ 对于任意的 $ x, y \in \mathbf{R} $ 恒成立，则实数 $ \lambda $ 的取值范围是$\{\lambda\mid-8\leqslant\lambda\leqslant4\}$.

答案： 16. $\{\lambda\mid-8\leqslant\lambda\leqslant4\}$