《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

1. 下列函数中，属于对数函数的是 (D)

A.$ y = 2 + \log _ { 3 } x $
B.$ y = \log _ { a } ( 2 a ) ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $
C.$ y = \log _ { a } x ^ { 2 } ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $
D.$ y = \ln x $

答案： 1. D

2. 函数 $ f ( x ) = \lg ( x - 1 ) + \sqrt { 4 - x } $ 的定义域为 (A)

A.$ ( 1, 4 ] $
B.$ ( 1, 4 ) $
C.$ [ 1, 4 ] $
D.$ [ 1, 4 ) $

答案： 2. A

3. 若函数 $ f ( x ) = \log _ { a } ( x + 1 ) ( a ＞ 0, a \neq 1 ) $ 的图象过点$( 7, 3 )$，则 $ a $ 的值为 (B)

A.$ \sqrt { 2 } $
B.$ 2 $
C.$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $
D.$ \frac { 1 } { 2 } $

答案： 3. B

4. 下列各组函数中，相等的是 (C)

A.$ y = \log _ { 3 } x ^ { 2 } $ 与 $ y = 2 \log _ { 3 } x $
B.$ y = \lg 10 ^ { x } $ 与 $ y = 10 ^ { \lg x } $
C.$ y = \log _ { 3 } x ^ { 2 } $ 与 $ y = 2 \log _ { 3 } | x | $
D.$ y = \lg x $ 与 $ y = \ln x $

答案： 4. C

5. 已知函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 }, x ＜ 0, } \\ { 2 ^ { x } - \log _ { 4 } x, x \geq 0, } \end{array} \right. $ 则 $ f [ f ( - 1 ) ] = $ (A)

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 6 $

答案： 5. A

6. 满足“对定义域内任意实数 $ x, y $，都有 $ f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) $”的函数 $ f ( x ) $ 可以是 (C)

A.$ f ( x ) = x ^ { 2 } $
B.$ f ( x ) = 2 ^ { x } $
C.$ f ( x ) = \log _ { 2 } x $
D.$ f ( x ) = \mathrm { e } ^ { \ln x } $

答案： 6. C

7. 设函数 $ f ( u ) = \log _ { 2 } u $ 的定义域为$( 0, 1 )$，则函数 $ f ( \mathrm { e } ^ { x } ) $ 的定义域为 (D)

A.$ ( 0, 1 ) $
B.$ ( - 1, 0 ) $
C.$ ( 0, + \infty ) $
D.$ ( - \infty, 0 ) $

答案： 7. D

8. (多选)函数 $ y = \log _ { ( a - 2 ) } [ ( 5 - a ) x ] $ 的定义域为$\{ x | x ＞ 0 \}$，则实数 $ a $ 的值可能是 (AC)

A.$ \frac { 5 } { 2 } $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案： 8. AC

9. (多选)(2024·湖北恩施高中高一月考)已知函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 3 ^ { x + 2 }, x ＜ 2, } \\ { \log _ { 3 } ( x ^ { 2 } + 2 ), x \geq 2, } \end{array} \right. $ 若 $ f ( a ) = 3 $，则实数 $ a $ 的值可以是 (BC)

A.$ 1 $
B.$ - 1 $
C.$ 5 $
D.$ - 5 $

答案： 9. BC

10. 设函数 $ f ( x ) = 3 ^ { x } + 9 ^ { x } $，则 $ f ( \log _ { 3 } 2 ) = $6.

答案： 10. 6

11. 某公司为了调动销售人员的工作积极性，制定了一个奖励方案：当销售额为 $ x $ 万元时，奖金为 $ y $ 万元，若公司的奖励方案为 $ y = 3 \log _ { 3 } x - 2 $，某业务员要想得到 $ 7 $ 万元的奖励，则他的销售额应为27万元.

答案： 11. 27

12. 若函数 $ y = ( a ^ { 2 } - 5 a + 1 ) \log _ { ( a + 1 ) } x $ 是对数函数，则实数 $ a $ 的值为5.

答案： 12. 5

13. （2024·诸暨中学高一检测）求下列函数的定义域：
（1）$ y = \log _ { 4 } ( 1 - x ) $；（2）$ y = \log _ { 3 } \frac { 1 - x } { 1 + x } $；
（3）$ y = \frac { 1 } { \log _ { 2 } ( x - 2 ) } $.

答案： 13. 解：
(1)要使函数 y=$\log_{4}(1-x)$ 有意义，需满足 1-x＞0，解得
x＜1，故函数定义域为(-∞,1)。
(2)要使函数 y=$\log_{3}\frac{1-x}{1+x}$ 有意义，需满足$\begin{cases} \frac{1-x}{1+x}＞0,\\1+x\neq0,\end{cases}$
即 (1-x)(1+x)＞0，解得 -1＜x＜1，故函数定义域为(-1,1)。
(3)要使函数 y=$\frac{1}{\log_{2}(x-2)}$ 有意义，需满足$\begin{cases}x - 2 ＞ 0,\\\log_{2}(x - 2) \neq 0,\end{cases}$
即$\begin{cases}x ＞ 2,\\x \neq 3,\end{cases}$故函数定义域为(2,3)∪(3,+∞)。