《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

14. （2024·潍坊一中高一检测）已知 $a,b,c$ 均为正数，证明：$\frac{b + c - a}{a}+\frac{c + a - b}{b}+\frac{a + b - c}{c}\geqslant 3$.

答案： 14. 证明：左边$=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1=$
$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})-3．$
∵a，b，c为正数，
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant2($当且仅当a=b时取等号)，$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geqslant2($当且仅
当a=c时取等号)，$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\geqslant2($当且仅当b=c时取等号)．
从而$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})\geqslant6($当且仅当a=
b=c时取等号)，
∴$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})-$
$3\geqslant3，$即$\frac{b+c-a}{a}+\frac{c+a-b}{b}+\frac{a+b-c}{c}\geqslant3.$

15. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高.根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于 $4\sqrt{2}$，当这个直角三角形的周长取最大值时，其面积为8.

答案： 15. 8

16. 是否存在正实数 $a$ 和 $b$，同时满足下列条件：① $a + b = 10$；② $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1(x\gt0,y\gt0)$，且 $x + y$ 的最小值为 18.若存在，求出 $a,b$ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 16. 解：
∵$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1，$
∴$x+y=(x+y)(\frac{a}{x}+\frac{b}{y})=a+b+$
$\frac{bx}{y}+\frac{ay}{x}\geqslant a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2，$又x+y的最小值为
18，
∴$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=18.$
由$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=18，$a+b=10，
得$\begin{cases}a=2,\\b=8,\end{cases}$或$\begin{cases}a=8,\\b=2,\end{cases}$
故存在实数a=2,b=8，或a=8,b=2满足条件.