《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

14. 已知 $ f(x)=9^{x}-2 × 3^{x}+4,x \in [-1,2] $.
（1）设 $ t=3^{x},x \in [-1,2] $，求 $ t $ 的最大值与最小值；
（2）求 $ f(x) $ 的最大值与最小值.

答案： 14. 解：
(1)设$t = 3^{x}$，$\because x \in [ - 1,2]$，函数$t = 3^{x}$在$[ - 1,2]$上单调递增，故有$\frac{1}{3} \leqslant t \leqslant 9$，故$t$的最大值为$9$，$t$的最小值为$\frac{1}{3}$.
(2)由$f(x) = 9^{x} - 2 × 3^{x} + 4 = t^{2} - 2t + 4 = (t - 1)^{2} + 3$，可得此二次函数的对称轴为$t = 1$，且$\frac{1}{3} \leqslant t \leqslant 9$，故当$t = 1$时，函数$f(x)$有最小值为$3$，当$t = 9$时，函数$f(x)$有最大值为$67$.

15. 对于函数 $ f(x) $，若在定义域内存在实数 $ x_{0} $ 满足 $ f\left(-x_{0}\right)=-f\left(x_{0}\right) $，则称函数 $ f(x) $ 为“倒戈函数”. 设 $ f(x)=3^{x}+2m-1(m \in \mathbf{R} $，且 $ m \neq 0) $ 是定义在 $[-1,1]$ 上的“倒戈函数”，则实数 $ m $ 的取值范围是$\left[ - \frac{1}{3},0 \right)$.

答案： 15.$\left[ - \frac{1}{3},0 \right)$

16. 已知函数 $ f(x)=\frac{4^{x}+a}{2^{x}} $ 为偶函数.
（1）求 $ a $ 的值，并写出 $ f(x) $ 的单调区间；
（2）若存在 $ x \in [0,1] $ 使不等式 $ b f(2x)+1 \geqslant f(x) $ 成立，求实数 $ b $ 的取值范围.

答案： 16. 解：
(1)$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$\because f(x) = \frac{4^{x} + a}{2^{x}}$，$\therefore f( - x) = \frac{4^{- x} + a}{2^{- x}} = \frac{1 + a \cdot 4^{x}}{2^{x}}$，又$f(x)$为偶函数，$\therefore f( - x) = f(x)$，解得$a = 1$，则$f(x) = \frac{4^{x} + 1}{2^{x}} = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$. 由对勾函数的性质知，当$2^{x} \in (0,1)$，即$x \in ( - \infty,0)$时，函数$f(x)$单调递减，当$2^{x} \in (1, + \infty)$，即$x \in (0, + \infty)$时，函数$f(x)$单调递增，$\therefore$函数$f(x)$在$( - \infty,0)$上单调递减，在$(0, + \infty)$上单调递增.
(2)由题意可得存在$x \in [0,1]$使不等式$b(2^{2x} + \frac{1}{2^{2x}}) + 1 \geqslant 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$，即$b \left[ \left( 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} \right)^{2} - 2 \right] + 1 \geqslant 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$成立，令$t = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$，则$t \in \left[ 2,\frac{5}{2} \right]$，$\therefore b(t^{2} - 2) + 1 \geqslant t$有解. 由$b(t^{2} - 2) + 1 \geqslant t$，得$b \geqslant \frac{t - 1}{t^{2} - 2}$，令$g(t) = \frac{t - 1}{t^{2} - 2}$，$t \in \left[ 2,\frac{5}{2} \right]$，则$b \geqslant g(t)_{\min}$，$g(t) = \frac{t - 1}{t^{2} - 2} = \frac{1}{(t - 1) + \frac{1}{t - 1} + 2} \geqslant \frac{1}{\frac{6}{17}} = \frac{6}{17}$，$\therefore$实数$b$的取值范围是$\left[ \frac{6}{17}, + \infty \right)$.