《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

11. (2024·海南中学高一月考)已知 $ f ( x ) = \frac { 1 } { x } - \ln x $ 在区间 $( n, n + 1 ) ( n \in \mathbf { Z } )$ 上有一个零点 $x_0$，则 $n =$1，若用二分法求 $x_0$ 的近似值(精确度为 $0.1$)，则至少需要将初始区间等分4次.

答案： 11. 1 4

12. (2024·浙江 $9 + 1$ 联盟高一期中)已知函数 $ f ( x ) = | 3 ^ { x } - 1 | $，$ g ( x ) = 4 x ^ { 2 } - a x + 1 $.若方程 $g [ f ( x ) ] = 0$ 有 $4$ 个不相同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是(4,5).

答案： 12. (4,5)

13. (10分)已知 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 x - 3, x \leq 0, } \\ { \ln x, x ＞ 0. } \end{array} \right. $
(1)在如图所示的坐标系中作出 $y = f ( x )$ 的图象；
(2)观察图象，求使方程 $f(x) = k$ 的实数解个数为 $3$ 的 $k$ 的取值范围.

答案：
13. 解：
(1)根据函数解析式，分别在$x\leq0$和$x＞0$时作出函数的图象，描出关键点$(-3,0),(-1,-4),(0,-3),(1,0)$，根据函数类型即可画出图象如图所示。
　　　　　　
(2)当$y = f(x)$的图象与直线$y = k$有3个交点时，方程$f(x)=k$有3个实数解。由图知，当$k\in(-4,-3]$时，方程$f(x)=k$有3个实数解，即$k$的取值范围是$(-4,-3]$。

14. (13分)已知函数 $ f ( x ) = \log _ { 2 } x + x - 2 $.
(1)判断函数 $f(x)$ 的零点的个数并说明理由；
(2)求函数 $f(x)$ 零点所在的一个区间 $( a, b )$，使 $b - a \leq \frac { 1 } { 4 }$.

答案： 14. 解：
(1)$\because f(x)=\log_{2}x + x - 2$的定义域为$(0,+\infty)$，且函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，$\therefore$函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上至多有一个零点。又$f(1)=-1＜0,f(2)=1＞0$，由零点存在定理可知，函数$f(x)$在$(1,2)$上必有一个零点。$\therefore$函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上只有一个零点。
(2)由
(1)知函数$f(x)$在$(1,2)$上必有一个零点，且$f(1)=-1＜0,f(2)=1＞0$，又$f(\frac{3}{2})=\log_{2}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\log_{2}3-\frac{3}{2}=\log_{2}\sqrt{9}-\log_{2}\sqrt{8}＞0$，故函数零点所在的一个区间为$(1,\frac{3}{2})$，又$f(\frac{5}{4})=\log_{2}\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\log_{2}5-\frac{11}{4}=\log_{2}\sqrt[4]{625}-\log_{2}\sqrt[4]{2048}＜0$，故函数零点所在的一个区间为$(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$，而$\frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}$，即函数$f(x)$零点所在的一个区间为$(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$。

15. (15分)某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为树木的高度 $f(x)$ (单位:m) 与生长年限 $x$ (单位:年)满足关系式 $ f ( x ) = \frac { 41 } { 1 + 3 ^ { k x + b } } ( x \geq 0 ) $.该种树木栽种时的高度为 $\frac { 1 } { 2 } \mathrm { m }$，$1$ 年后的高度达到 $\frac { 41 } { 28 } \mathrm { m }$.
(1)求 $f(x)$ 的函数解析式；
(2)问:从栽种之日起，第几年树木生长得最快?

答案： 15. 解：
(1)由已知得$\begin{cases}f(0)=\frac{1}{2}=\frac{41}{1 + 3^{b}}\\f(1)=\frac{41}{28}=\frac{41}{1 + 3^{k + b}}\end{cases}$即$\begin{cases}1+3^{b}=82\\1 + 3^{k + b}=28\end{cases}$，
$\therefore\begin{cases}3^{b}=81\\3^{k + b}=27\end{cases}$，解得$k = -1,b = 4$，$\therefore f(x)=\frac{41}{1 + 3^{-x + 4}}(x\geq0)$。
(2)令$x\in\mathbf{N},g(x)=f(x + 1)-f(x)=\frac{41}{1 + 3^{-x + 3}}-\frac{41}{1 + 3^{-x + 4}}=\frac{82\cdot3^{-x + 3}}{(1 + 3^{-x + 3})(1 + 3^{-x + 4})}$。问题化为当$x\in\mathbf{N}$时，求函数$g(x)$的最大值。又$g(x)=\frac{82}{3^{x - 3}+4 + 3^{4 - x}}=\frac{82}{3^{x - 3}+3^{4 - x}+4}$，令$t=3^{x - 3}(t＞0)$，则$g(x)=\frac{82}{t + 3t + 4}=\frac{82}{4t + 4}$（此处原参考答案可能存在笔误，根据上下文修正为：$g(x)=\frac{82}{3^{x - 3} + 3^{4 - x} + 4}$，利用基本不等式$3^{x - 3} + 3^{4 - x}\geq2\sqrt{3^{x - 3}\cdot3^{4 - x}}=2\sqrt{3}=2×3^{\frac{1}{2}}$，当且仅当$3^{x - 3}=3^{4 - x}$，即$x=\frac{7}{2}$时取等号），当且仅当$3^{x - 3}=3^{4 - x}$，即$x=\frac{7}{2}$时，上式取等号，又$x\in\mathbf{N}$，
$\therefore g(3)=g(4)=\frac{41}{4}$，
故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长得最快。