《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

10. 函数 $ y = x^{2} $ 与函数 $ y = \ln x $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上增长得较快的是y = x²。

答案： 10.y = x²

11. 已知某人投资 $ x $ 元，获利 $ y $ 元，他有以下三种方案.甲：$ y = 0.2x $，乙：$ y = \log_{2}x + 100 $，丙：$ y = 1.005^{x} $，则投资500元，1000元，1500元时，应选择的方案分别是乙,甲,丙。

答案： 11.乙,甲,丙

12. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $ 12\% $，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年(参考数据：$ \lg 1.12 \approx 0.05 $，$ \lg 1.3 \approx 0.11 $，$ \lg 2 \approx 0.30 $)。

答案： 12.2027

13. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，并收集了其高度 $ h $（单位：m）与生长时间 $ t $（单位：年）的相关数据。当选择 $ h = mt + b $ 与 $ h = \log_{a}(t + 1) $ 来拟合 $ h $ 与 $ t $ 的关系，你认为哪个符合？请预测第8年的松树高度。

答案：
13.解:在坐标轴上标出$t$(年)与$h$(m)之间的关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理.不妨将$(2,1)$代入$h = \log_{a}(t + 1)$中，得$1 = \log_{a}3$，解得$a = 3$，故可用函数$h = \log_{3}(t + 1)$来拟合这个实际问题.当$t = 8$时，求得$h = \log_{3}(8 + 1)=2$，故可预测第8年松树的高度为2m.

14. （2024·南京一中高一检测）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 $ y $（单位：万元）随投资收益 $ x $（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的 $ 20\% $（即设奖励方案函数模型为 $ y = f(x) $ 时，公司对函数模型的基本要求如下：当 $ x \in [25, 1600] $ 时，① $ f(x) $ 是增函数；② $ f(x) \leq 75 $ 恒成立；③ $ f(x) \leq \frac{x}{5} $ 恒成立。
（1）判断函数 $ f(x) = \frac{x}{30} + 10 $ 是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数 $ g(x) = a\sqrt{x} - 5(a \geq 1) $ 符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 14.　解:
(1)不符合，理由:对于函数模型$f(x)=\frac{x}{30}+10$，当$x \in [25,1600]$时，$f(x)$是增函数，则$f(x) \leq f(1600)＜75$，显然恒成立，若$f(x) \leq \frac{x}{5}$，即$\frac{x}{30}+10 \leq \frac{x}{5}$，解得$x \geq 60$，$\therefore$当$x \in [25,1600]$时，$f(x) \leq \frac{x}{5}$不恒成立.综上，函数模型$f(x)=\frac{x}{30}+10$满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型$f(x)=\frac{x}{30}+10$不符合要求.
(2)当$x \in [25,1600]$时，$g(x)=a\sqrt{x}-5(a \geq 1)$单调递增，$\therefore$最大值$g(1600)=40a - 5 \leq 75$，$\therefore a \leq 2$.设$g(x)=a\sqrt{x}-5 \leq \frac{x}{5}$恒成立，则$a^{2}x \leq (5+\frac{x}{5})^{2}$恒成立，即$a^{2} \leq \frac{25}{x}+2+\frac{x}{25}$.$\because \frac{25}{x}+\frac{x}{25} \geq 2$，当且仅当$x = 25$时取等号，$\therefore a^{2} \leq 2 + 2 = 4$.$\because a \geq 1$，$\therefore 1 \leq a \leq 2$，故实数$a$的取值范围是$[1,2]$.

15. 如图所示为某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量 $ y $ 与净化时间 $ t $(单位：月)的近似函数关系：$ y = a^{t}(t \geq 0,a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图象。有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于 $ \frac{1}{5} $；②每月减少的有害物质的质量都相等；③若残留量为 $ \frac{1}{2} $，$ \frac{1}{4} $，$ \frac{1}{8} $ 时，所经过的时间分别是 $ t_{1} $，$ t_{2} $，$ t_{3} $，则 $ t_{1} + t_{2} = t_{3} $。其中所有叙述正确的序号是①③。

答案： 15.①③

16. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为。为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20mg～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车。假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL。如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 $ 30\% $ 的速度减少，那么他至少经过5小时才能驾驶汽车(注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时，参考数据：$ \lg 0.2 \approx -0.699 $，$ \lg 0.3 \approx -0.523 $，$ \lg 0.6 \approx -0.222 $，$ \lg 0.7 \approx -0.155 $)。

答案： 16.5