《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 求下列函数的值域:
(1)$y = \sqrt{x^{2} - 4x + 6}$;(2)$y = \frac{5x + 4}{x - 1}$;(3)$y = x - \sqrt{x + 1}$.

答案： 13. 解：
(1)令$t=x^{2}-4x+6，$得$t=(x-2)^{2}+2，$故t∈[2,+∞)，
∴函数的值域为$[\sqrt{2},+∞)。$
(2)
∵函数的定义域为{x|x≠1}，$y=\frac{5x+4}{x-1}=5+\frac{9}{x-1}，$
∴函数的值域为{y|y≠5}。
(3)要使$\sqrt{x+1}$有意义，只需x+1≥0，即x≥-1，故函数的定义域为{x|x≥-1}。设$t=\sqrt{x+1}，$则$x=t^{2}-1(t≥0)，$设$f(t)=t^{2}-1-t=(t-\frac{1}{2})^{2}-\frac{5}{4}，$又t≥0，
∴$f(t)≥-\frac{5}{4}，$
∴原函数的值域为$[-\frac{5}{4},+∞)。$

14. (2024·珠海一中高一检测)函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2kx^{2} + kx + \frac{3}{8}}}$.
(1)若$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,求$k$的取值范围;
(2)当$k = - 1$时,求$f(x)$的值域.

答案： 14. 解：
(1)由题意得，$2kx^{2}+kx+\frac{3}{8}＞0$对x∈R恒成立，当k=0
时，满足题意；当k≠0时，则$\begin{cases}k＞0,\\\Delta=k^{2}-3k＜0,\end{cases}$解得0＜k＜3.
综上可知，k的取值范围是[0,3)。
(2)当k=-1时，令$y=-2(x+\frac{1}{4})^{2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}，$故0＜\sqrt{-2x^{2}-x+\frac{3}{8}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}，则f(x)的值域为$[\sqrt{2},+∞)。$

15. 函数$y = \frac{x^{2} - 4x + 4}{x - 1}(x ＞ 1)$的值域为[0,+∞).

答案： 15.[0,+∞)

16. (2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考)函数$f(x)$的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点.
(1)求函数$y = 3 - 2x$的图象的稳定点;
(2)若函数$y = \frac{3x + 18}{2x + a}$的图象有两个关于原点对称的稳定点,求$a$的值及函数的图象的稳定点;
(3)已知函数$y = ax^{2} + (b + 1)x + (b - 4)(a \neq 0)$,若对任意实数$b$,函数的图象恒有两个相异的稳定点,求$a$的取值范围.

答案： 16. 解：
(1)令3-2x=x，得x=1，故函数y=3-2x的图象的稳定点为(1,1)。
(2)设点$(x_{0},x_{0})$是稳定点，则$x_{0}=\frac{3x_{0}+18}{2x_{0}+a}，$即$2x_{0}^{2}+(a-3)x_{0}-18=0，$由题意知该方程有两个根，且这两个根互为相反数，故$(a-3)^{2}-4×2×(-18)＞0，$$-\frac{a-3}{2}=0，$解得a=3。
由$2x_{0}^{2}-18=0，$得$x_{0}=±3，$则稳定点为(-3,-3)，(3,3)。
(3)对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，即关于x的方程$ax^{2}+(b+1)x+(b-4)=x$恒有两个不相等的实数根，则$\Delta_{1}=b^{2}-4a(b-4)＞0$恒成立，即关于b的方程$b^{2}-4ab+16a＞0$恒成立，
∴$\Delta_{2}=16a^{2}-4×16a＜0，$解得0＜a＜4。