《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

12. 已知$a＞0$，$x_{1}$，$x_{2}$为方程$x^{2}+2x+a=0$的两个实数根，则$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$的最大值为-2.

答案： 12. -2

13. （2024·深圳中学高一检测）已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+1$.
（1）判断函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的单调性并证明；
（2）求$f(x)$在$[1,3]$上的最值.

答案： 13. 解：
(1)函数$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上单调递减.证明如下：
$\forall x_1, x_2 \in (0, +\infty)$，且$x_1 ＜ x_2$，有$f(x_1) - f(x_2) = \left(\frac{1}{x_1^2} + 1\right) - \left(\frac{1}{x_2^2} + 1\right) = \frac{(x_1 + x_2)(x_2 - x_1)}{(x_1x_2)^2}$。$\because x_2 ＞ x_1 ＞ 0$，
$\therefore x_1 + x_2 ＞ 0$，$x_2 - x_1 ＞ 0$，$(x_1x_2)^2 ＞ 0$，$\therefore f(x_1) - f(x_2) ＞ 0$，即$f(x_1) ＞ f(x_2)$，$\therefore$函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减.
(2)由
(1)知函数$f(x)$在区间$[1, 3]$上单调递减，$\therefore$当$x = 1$时，函数$f(x)$取得最大值，最大值为$f(1) = 2$；当$x = 3$时，函数$f(x)$取得最小值，最小值为$f(3) = \frac{10}{9}$.

14. 某商场经营一批进价为每件$30$元的商品，在市场试销中发现，该商品的销售单价$x$（不低于进价，单位：元）与日销售量$y$（单位：件）之间有如下关系：
（1）确定$x$与$y$的一个一次函数关系式$y=f(x)$（注明函数的定义域）；
（2）若日销售利润为$P$（单位：元），根据（1）中的关系式写出$P$关于$x$的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润.

答案： 14. 解：
(1)$\because f(x)$是一次函数，$\therefore$设$f(x) = ax + b(a \neq 0)$，由题
得$\begin{cases}45a + b = 27, \\50a + b = 12,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -3, \\b = 162,\end{cases}\therefore y = f(x) = -3x + 162$.
又$y \geq 0$，且销售单价不低于进价，$\therefore 30 \leq x \leq 54$，故所求函数解析式为$y = -3x + 162$，$x \in [30, 54]$.
(2)由题意得，$P = (x - 30)y = (x - 30)(162 - 3x) = -3(x - 42)^2 + 432$，$x \in [30, 54]$，$\therefore$当$x = 42$时，$P_{max} = 432$，即当销售单价为$42$元时，能获得最大的日销售利润.

15. (2024·效实中学高一检测)已知函数$f(x)=x^{2}-2x$，$g(x)=ax+2(a＞0)$，若对任意的$x_{1}\in[-1,2]$，都存在$x_{0}\in[-1,2]$，使得$g(x_{1})=f(x_{0})$，则实数$a$的取值范围是.

答案： 15. $(0, \frac{1}{2}]$

16. (2024·山东日照高一期末)设$M_{I}$表示函数$f(x)=\left|\dfrac{1}{8}x^{2}-x+1\right|$在闭区间$I$上的最大值.若正实数$a$满足$M_{[0,a]}\geqslant2M_{[a,2a]}$，则正实数$a$的取值范围是.

答案： 16. $[4 - 2\sqrt{3}, 1]$