《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

1. 有以下三个命题：
①“方程 $ f(x) = 0 $ 有实数解”是“函数 $ y = f(x) $ 有零点”的充要条件；
②“方程 $ f(x) = 0 $ 有实数解”是“函数 $ y = f(x) $ 的图象与 $ x $ 轴有交点”的充要条件；
③“函数 $ y = f(x) $ 有零点”是“函数 $ y = f(x) $ 的图象与 $ x $ 轴有交点”的充要条件.
其中为正确命题的个数是(D)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 1.D

2. 函数 $ f(x) = -x^2 + 5x - 6 $ 的零点是(B)

A.$ (2,0) $
B.$ 2,3 $
C.$ (3,0) $
D.$ -2,-3 $

答案： 2.B

3. 函数 $ f(x) = \ln x + 2x - 3 $ 的零点所在的区间是(C)

A.$ \left(0,\dfrac{1}{2}\right) $
B.$ \left(\dfrac{1}{2},1\right) $
C.$ \left(1,\dfrac{3}{2}\right) $
D.$ \left(\dfrac{3}{2},2\right) $

答案： 3.C

4. (2024·河北保定一中高一期中)已知 $ f(x) $ 是定义在 $ [-2,6] $ 上的减函数，且 $ f(-2) ＞ 0 $，$ f(-1) ＞ 0 $，$ f(0) ＞ 0 $，$ f(3) ＜ 0 $，$ f(6) ＜ 0 $，则 $ f(x) $ 的零点可能为(C)

A.$ -1.5 $
B.$ -0.5 $
C.$ 2 $
D.$ 4 $

答案： 4.C

5. (2024·江苏南京一中高一月考)设 $ x_1,x_2 $ 是函数 $ y = 6x^2 - x - 2 $ 的两个零点，则 $ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} $ 的值为(D)

A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ -\dfrac{1}{2} $

答案： 5.D

6. 若函数 $ f(x) $ 在定义域 $ \{x|x \in \mathbf{R} $，且 $ x \neq 0\} $ 上是偶函数，且在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减，$ f(2) = 0 $，则函数 $ f(x) $ 的零点(B)

A.只有一个
B.只有两个
C.至少有两个
D.无法判断

答案： 6.B

7. 已知 $ e $ 是自然对数的底数，函数 $ f(x) = e^x + x - 2 $ 的零点为 $ a $，函数 $ g(x) = \ln x + x - 2 $ 的零点为 $ b $，则下列不等式中，成立的是(D)

A.$ f(1) ＜ f(a) ＜ f(b) $
B.$ f(b) ＜ f(1) ＜ f(a) $
C.$ f(a) ＜ f(b) ＜ f(1) $
D.$ f(a) ＜ f(1) ＜ f(b) $

答案： 7.D

8. (多选)下列说法中，正确的有(AD)

A.函数 $ f(x) = x^2 + \ln x $ 有且仅有一个零点
B.若 $ f(x) $ 的图象是一条连续的曲线，且 $ f(0) \cdot f(1) ＞ 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ (0,1) $ 内没有零点
C.若 $ f(x) $ 的图象是一条连续的曲线，且 $ f(0) \cdot f(1) ＜ 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ (0,1) $ 上有且仅有一个零点
D.若 $ f(x) $ 的图象是一条连续的曲线，且 $ f(0) \cdot f(1) \leq 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上有零点

答案： 8.AD

9. (多选)函数 $ f(x) = x - 2 - \log_4|x| $ 的零点所在的区间可能为(ABC)

A.$ (-1,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (2,3) $
D.$ (3,4) $

答案： 9.ABC

10. 函数 $ f(x) = 4^x - 2^x - 2 $ 的零点是1.

答案： 10.1

11. 函数 $ f(x) = \begin{cases}x^2 - 2,x \leq 0,\\\ln x,x ＞ 0\end{cases} $ 的零点个数是2.

答案： 11.2

12. 设 $ f(x) = \begin{cases}3^{-x},x \leq 0,\\f(x - 1),x ＞ 0,\end{cases} $ 若关于 $ x $ 的方程 $ f(x) = x + a $ 有且仅有三个不同的解，则实数 $ a $ 的取值范围是α＜2.

答案： 12.α＜2