《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 已知$M=\{x|a\leqslant x\leqslant a + 1\}$。
（1）“$\forall x\in M,x + 1＞0$”是真命题，求实数$a$的取值范围；
（2）“$\exists x\in M,x + 1＞0$”成立，求实数$a$的取值范围。

答案： 13.解：$(1)“\forall x\in M,x + 1＞0”$是真命题，即a + 1＞0，解得a＞-1，$\therefore$实数a的取值范围是a＞-1.
$(2)“\exists x\in M,x + 1＞0”$成立，即a + 1 + 1＞0，解得a＞-2，$\therefore$实数a的取值范围是a＞-2.

14. （2024·济南中学高一检测）已知命题$p$：函数$y = ax^{2}+2x + 1$的图象恒在$x$轴上方。若$\forall x\in \mathbf{R},p$是真命题，求实数$a$的取值范围。

答案： 14.解：由题意可得，$\forall x\in\mathbf{R}，$函数$y = ax^{2}+2x + 1$的图象恒在
x轴上方.①当a = 0时，$y = ax^{2}+2x + 1 = 2x + 1，$显然图象不恒在x轴上方，不符合题意；②当$a\neq0$时，要使函数$y = ax^{2}+2x + 1$的图象恒在x轴上方，则$\begin{cases}a＞0,\\\Delta = 4 - 4a$＜0,\end{cases}解得a＞1.综上，所求实数a的取值范围是a＞1.

15. (2024·山东青岛平度一中高一月考)下列选项中，能说明命题“$\exists x\in \mathbf{R},4x^{2}+(a - 2)x+\frac{1}{4}=0$”为假命题的一个必要不充分条件的是(B)

A.$a ＜ 0$
B.$0\leqslant a\leqslant 4$
C.$a\geqslant 4$
D.$0 ＜ a ＜ 4$

答案： 15.B

16. 已知$a\in \mathbf{R},p:\forall x\in \{x|1\leqslant x\leqslant 2\},a\leqslant x^{2}$，$q:\exists x_{0}\in \mathbf{R},x_{0}^{2}+2ax_{0}-(a - 2)=0$。
（1）若$p$是真命题，求$a$的最大值；
（2）若$p,q$中一个是真命题，一个是假命题，求$a$的取值范围。

答案： 16.解：
(1)若p：$\forall x\in\{x\mid1\leqslant x\leqslant2\}，$$a\leqslant x^{2}$为真命题，则$a\leqslant(x^{2})_{\min}(1\leqslant x\leqslant2)，$$\therefore a\leqslant1，$$\therefore a$的最大值为1.
$(2)\because p$与q一真一假，$\therefore$当q是真命题时，$\Delta = 4a^{2}-4(2 - a)\geqslant0，$解得$a\leqslant - 2，$或$a\geqslant1.$
当p是真命题，q是假命题时，有$\begin{cases}a\leqslant1,\\-2$＜a＜1,\end{cases}解得 - 2＜a＜1；当p是假命题，q是真命题时，有\begin{cases}a＞$1,\\a\leqslant - 2,$或$a\geqslant1,\end{cases}$解得a＞1.综上，a的取值范围是$\{a\mid a＞1,或 - 2＜a＜1\}.$