《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

1. 不等式 $a^{2}+\frac{4}{a^{2}}\geqslant 4$ 中，等号成立的条件是(D)

A.$a = 4$
B.$a=\sqrt{2}$
C.$a = -\sqrt{2}$
D.$a=\pm\sqrt{2}$

答案： 1.D

2. 已知 $x\gt0,y\gt0$，若 $xy = 3$，则 $x + y$ 的最小值是(C)

A.3
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.1

答案： 2.C

3. 设 $x\gt0$，则 $3 - 3x-\frac{1}{x}$ 的最大值是(D)

A.3
B.$3 - 2\sqrt{2}$
C.$-1$
D.$3 - 2\sqrt{3}$

答案： 3.D

4. 若正实数 $a,b$ 满足 $a + b = 1$，则 $\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值是(C)

A.6
B.8
C.9
D.10

答案： 4.C

5. 若 $a,b$ 都是正数，则 $(1+\frac{b}{a})(1+\frac{4a}{b})$ 的最小值是(C)

A.5
B.7
C.9
D.13

答案： 5.C

6. 已知 $x\gt0,y\gt0$，且 $x + 2y = 4$，则 $(1 + x)\cdot(1 + 2y)$ 的最大值是(B)

A.16
B.9
C.4
D.36

答案： 6.B

7. 若实数 $a,b$ 满足 $ab\gt0$，则 $a^{2}+4b^{2}+\frac{1}{ab}$ 的最小值是(C)

A.8
B.6
C.4
D.2

答案： 7.C

8. (多选)下列结论中，正确的有(BC)

A.$x+\frac{3}{x}\geqslant 2\sqrt{3}$
B.$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}\geqslant 2$
C.$\frac{(x + y)^{2}}{2}\leqslant x^{2}+y^{2}$
D.若 $x\lt0,y\lt0$，则 $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\leqslant -2$

答案： 8.BC

9. (多选)若 $a\gt0,b\gt0,a + b = 2$，则下列不等式中，恒成立的有(ACD)

A.$ab\leqslant 1$
B.$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}$
C.$a^{2}+b^{2}\geqslant 2$
D.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant 2$

答案： 9.ACD

10. (2024·河北保定部分高中高一联考)已知 $a\gt0,b\gt0$，若 $ab = 1$，则 $9a + b$ 的最小值是6.

答案： 10.6

11. 已知 $4x^{2}+y^{2}-3xy - 1 = 0$，则 $xy$ 的最大值是1.

答案： 11.1

12. 已知 $x,y$ 为正实数，$3x + 2y = 10$，则 $W=\sqrt{3x}+\sqrt{2y}$ 的最大值是2\sqrt{5}.

答案： $12.2\sqrt{5}$

13. 已知正数 $a,b$ 满足 $a + b = 1$.
(1) 求 $ab$ 的取值范围；
(2) 求 $\frac{2}{a}+\frac{8}{b}$ 的最小值.

答案： 13. 解：
(1)
∵a，b是正数，且a+b=1，
∴由基本不等式得$a+b\geqslant$
$2\sqrt{ab}，$当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时取等号，即$1\geqslant2\sqrt{ab}，$
∴$ab\leqslant$
$\frac{1}{4}．$
∵a，b是正数，
∴ab＞0，
∴ab的取值范围是0＜ab\leqslant\frac{1}{4}
(2)
∵正数a，b满足a+b=1，
∴$\frac{2}{a}+\frac{8}{b}=(\frac{2}{a}+\frac{8}{b})(a+$
$b)=10+\frac{2b}{a}+\frac{8a}{b}\geqslant10+2\sqrt{\frac{2b}{a}\cdot\frac{8a}{b}}=18，$当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{8a}{b}，$
即$a=\frac{1}{3}，$$b=\frac{2}{3}$时取等号，
∴$\frac{2}{a}+\frac{8}{b}$的最小值为18.