《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. （2024·台州中学高一检测）用适当的方法表示下列集合：
（1）用从$1$，$2$，$3$中抽出的一部分数字或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；
（2）在自然数集中，小于$1000$的奇数构成的集合。

答案： 13.解：
(1)当从1,2,3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1,2,3；当抽出2个数字时，可组成自然数12,21,13,31,23,32；当抽出3个数字时，可组成自然数123,132,213,231,321,312.由于元素个数有限，故用列举法表示为\{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,321,312\}。
(2)在自然数集中，奇数可表示为$x = 2n + 1,n\in\mathbf{N}，$故在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合为$\{x\mid x = 2n + 1,且n ＜ 500,n\in\mathbf{N}\}。$

14. （2024·金华一中高一检测）下列三个集合：
①$\{x|y = x^{2}+1\}$；②$\{y|y = x^{2}+1\}$；
③$\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$。
（1）它们是否为相等集合？
（2）它们各自的含义是什么？

答案： 14.解：
(1)它们是互不相等的集合。
(2)集合①是函数$y = x^{2}+1$的自变量x的取值组成的集合。
∵x可以取任意实数，
∴$\{x\mid y = x^{2}+1\} = \mathbf{R}。$
集合②是函数$y = x^{2}+1$的所有函数值y组成的集合。
∵$x^{2}\geq0，$
∴$y\geq1，$
∴$\{y\mid y = x^{2}+1\} = \{y\mid y\geq1\}。$
集合③是函数$y = x^{2}+1$图象上所有点的坐标组成的集合。

15. (2024·重庆南开中学高一月考)已知有限集$A = \{a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}\}$，定义集合$B = \{a_{i}+a_{j}|1\leqslant i\lt j\leqslant n,i,j\in\mathbf{N}^{*}\}$的元素个数为集合$A$的“容量”，记为$L(A)$。若集合$A = \{x\in\mathbf{N}^{*}|1\leqslant x\leqslant4\}$，则$L(A) =$5；若集合$A = \{x\in\mathbf{N}^{*}|1\leqslant x\leqslant2n,n\in\mathbf{N}^{*}\}$，且$L(A) = 8093$，则正整数$n$的值是2024。

答案： 15.5 2024

16. （2024·苏州中学高一检测）设集合$A$中的元素均为实数，且满足条件：若$a\in A$，则$\dfrac{1}{1 - a}\in A(a\neq1)$。
求证：（1）若$2\in A$，则$A$中必含有另外两个元素；
（2）集合$A$不可能是单元素集。

答案： 16.
(1)证明：若$a\in A，$则$\frac{1}{1 - a}\in A。$
∵$2\in A，$
∴$\frac{1}{1 - 2}=-1\in A。$
∵$-1\in A，$
∴$\frac{1}{1 - (-1)}=\frac{1}{2}\in A。$
∵$\frac{1}{2}\in A，$
∴$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\in$
A.
∴A中另外两个元素为$-1,\frac{1}{2}，$结论得证。
(2)若A为单元素集，则$a=\frac{1}{1 - a}，$即$a^{2}-a + 1 = 0，$方程无实
数解，
∴$a\neq\frac{1}{1 - a}，$
∴集合A不可能是单元素集。