《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 判断下列函数的奇偶性：
（1）$ f(x) = x^3 + x^5 $；
（2）$ f(x) = |x + 1| + |x - 1| $；
（3）$ f(x) = \frac{2x^2 + 2x}{x + 1} $。

答案： 13.解:
(1)函数的定义域为R.
∵$f(-x)=(-x)^{3}+(-x)^{5}=-(x^{3}+x^{5})=-f(x),$
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞)，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.

14. （2024·苏州中学高一检测）设函数 $ f(x) = x^2 - 2|x - a| + 3 $，$ x \in \mathbf{R} $。
（1）小鹏同学认为，无论 $ a $ 取何值，$ f(x) $ 都不可能是奇函数。你同意他的观点吗？请说明你的理由；
（2）若 $ f(x) $ 是偶函数，求 $ a $ 的值；
（3）在（2）的情况下，画出 $ y = f(x) $ 的图象并指出其单调递增区间。

答案：
14.解:
(1)我同意小鹏同学的观点.理由如下:
假设f(x)是奇函数,则由f(a)=a²+3,f(-a)=a²-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a²-2|a|+3=0,显然a²-2|a|+3=0无解,
∴f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a²+3=a²-4|a|+3,解得a=0.经验证，此时f(x)是偶函数.
(3)由
(2)知f(x)=x²-2|x|+3,其图象如下,由图可得，其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).

15. 已知实数 $ x $，$ y $ 满足 $ (x - 1)^3 + 2024(x - 1) = -2 $，$ (y - 1)^3 + 2024(y - 1) = 2 $，则 $ x + y = $2。

答案： 15.2

16. 已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数，设 $ g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} $，$ h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} $。
（1）试判断 $ g(x) $ 与 $ h(x) $ 的奇偶性；
（2）试判断 $ g(x) $，$ h(x) $ 与 $ f(x) $ 的关系；
（3）由此你能猜想出什么样的结论？（不必证明）

答案： 16.解:
(1)由题意知函数g(x)与h(x)的定义域均为R.
∵g(-x)=$\frac{f(-x)+f(x)}{2}$=g(x)，h(-x)=$\frac{f(-x)-f(x)}{2}$=-h(x)，
∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数.
(2)g(x)+h(x)=$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$+$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$=f(x).
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.