《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

9. (多选)已知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c \geq 0$的解集是$\{x|-1 \leq x \leq 2\}$，对于系数$a,b,c$，下列结论中，正确的有(ABC)

A.$a + b = 0$
B.$a + b + c ＞ 0$
C.$c ＞ 0$
D.$b ＜ 0$

答案： 9.ABC

10. 不等式$(x - \frac{1}{2})\sqrt{x^{2} - 5x + 6} \geq 0$的解集为$\left\{x\mid \dfrac {1}{2}\leq x\leq 2,或 x\geq 3\right\}$。

答案： 10.$\left\{x\mid \dfrac {1}{2}\leq x\leq 2,或 x\geq 3\right\}$

11. 若关于$x$的不等式$\frac{x - a}{x + 1} ＞ 0$的解集为$\{x|x ＜ -1,或 x ＞ 4\}$，则实数$a =$4。

答案： 11.4

12. 甲厂以$x$千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求$1 \leq x \leq 10$），每小时可获得利润$100(5x + 1 - \frac{3}{x})$元。要使生产该产品$2$小时获得的利润不低于$3000$元，则$x$的最小值是________。

答案： 12.3

13. 某小区内有一个矩形花坛$ABCD$，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛$AMPN$，要求点$B$在$AM$上，点$D$在$AN$上，且对角线$MN$过点$C$，如图所示。已知$AB = 3m$，$AD = 2m$。要使矩形$AMPN$的面积大于$32m^{2}$，则$DN$的长应在什么范围内？

答案： 13.解：设$DN$的长为$x(x＞0)m$，则$AN$的长为$(x + 2)m$。易知$\dfrac {DN}{AN}=\dfrac {DC}{AM}$，$\therefore AM=\dfrac {3(x + 2)}{x}$，$\therefore S_{矩形AMPN}=AN\cdot AM=\dfrac {3(x + 2)^{2}}{x}$。由$S_{矩形AMPN}＞32$，得$\dfrac {3(x + 2)^{2}}{x}＞32$。
又$x＞0$，$\therefore 3x^{2}-20x + 12＞0$，解得$0＜x＜\dfrac {2}{3}$，或$x＞6$，即$DN$的长的取值范围是$\left\{x\mid 0＜x＜\dfrac {2}{3},或 x＞6\right\}$。

14. （2024·珠海一中高一检测）某商品每件的成本价为$80$元，售价为$100$元，每天售出$100$件。若每件的售价降低$x$成（$1$成$= 10\%$），售出的商品数量就增加$\frac{8}{5}x$成，但要求售价不能低于成本价。
（1）设该商店一天的营业额为$y$，试求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出$x$的取值范围；
（2）若再要求该商品一天营业额至少为$10260$元，求$x$的取值范围。

答案： 14.解：
(1)由题意得$y = 100\left(1-\dfrac {x}{10}\right)\cdot 100\left(1+\dfrac {8}{50}x\right)$。
$\because$售价不能低于成本价，$\therefore 100\left(1-\dfrac {x}{10}\right)-80\geq 0$，即$0\leq x\leq 2$，
$\therefore y = 40(10 - x)(25 + 4x)$，$0\leq x\leq 2$。
(2)由题意得$40(10 - x)(25 + 4x)\geq 10260$，解得$\dfrac {1}{2}\leq x\leq \dfrac {13}{4}$，
又$0\leq x\leq 2$，$\therefore x$的取值范围是$\left\{x\mid \dfrac {1}{2}\leq x\leq 2\right\}$。

15. (多选)已知$a \in \mathbf{Z}$，关于$x$的一元二次不等式$x^{2} - 8|x| + a \leq 0$有$6$个整数解，则$a$的取值可能为(CD)

A.$11$
B.$12$
C.$13$
D.$14$

答案： 15.CD

16. （2024·舟山中学高一检测）某热带风暴中心$B$位于海港城市$A$南偏东$60^{\circ}$的方向，与$A$市相距$400km$。该热带风暴中心$B$以$40km/h$的速度向正北方向移动，影响范围的半径是$350km$。问：从此时起，经过多长时间$A$市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？

答案：
16.解：如图所示，以A市为原点，正东方向为$x$轴建立平面直角坐标系。

$\because AB = 400$，$\angle BAx = 30^{\circ}$，$\therefore$台风中心$B$的坐标为$(200\sqrt {3},-200)$，$x h$后台风中心$B$到达点$P(200\sqrt {3},40x - 200)$处。由已知，A市受台风影响时，有$AP\leq 350$，即$(200\sqrt {3})^{2}+(40x - 200)^{2}\leq 350^{2}$，整理得$16x^{2}-160x + 375\leq 0$，解不等式得$3.75\leq x\leq 6.25$，A市受台风影响的时间为$6.25 - 3.75 = 2.5(h)$，故在$3.75 h$后，A市会受到台风的影响，时间长达$2.5 h$。