《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 设函数 $ f(x)=\lg \frac{a}{x+1}(a \in \mathbf{R}) $，且 $ f(1)=0 $.
（1）求 $ a $ 的值；
（2）判断 $ f(x) $ 在区间 $ (0,+\infty) $ 上的单调性，并用单调性的定义证明.

答案： 13.解：
(1)函数$f(x)=\lg\frac{a}{x + 1}(a\in\mathbf{R})，$且f
(1)=0，则$f(1)=\lg\frac{a}{2}=0，$则$\frac{a}{2}=1，$解得a = 2。
$(2)f(x)=\lg\frac{2}{x + 1}$在区间$(0,+\infty)$上单调递减。
证明：设$0\lt x_{1}\lt x_{2}，$$f(x_{1})-f(x_{2})=\lg\frac{2}{x_{1}+1}-\lg\frac{2}{x_{2}+1}=\lg\frac{x_{2}+1}{x_{1}+1}=\lg(x_{2}+1)-\lg(x_{1}+1)，$$\because0\lt x_{1}\lt x_{2}，$$\therefore\lg(x_{2}+1)\gt\lg(x_{1}+1)，$即$f(x_{1})\gt f(x_{2})，$即函数f(x)在$(0,+\infty)$上单调递减。

14. 已知定义在 $ (0,+\infty) $ 上的函数 $ f(x)=\log _{a} x(a＞1) $，且 $ f(x) $ 在 $ \left[\frac{1}{2}, 3\right] $ 上的最大值为 1.
（1）求 $ a $ 的值；
（2）令 $ F(x)=f\left(\frac{1}{3}+x\right)+f\left(\frac{1}{3}-x\right) $，求函数 $ F(x) $ 的值域.

答案： 14.解：$(1)\because a\gt1，$$\therefore$函数$f(x)=\log_{a}x$在$\left[\frac{1}{2},3\right]$上单调递增。
$\therefore f(x)_{\max}=f(3)=\log_{a}3 = 1，$解得a = 3。
$(2)\because a = 3，$$\therefore F(x)=\log_{3}\left(\frac{1}{3}+x\right)+\log_{3}\left(\frac{1}{3}-x\right)=\log_{3}\left[\left(\frac{1}{3}+x\right)\left(\frac{1}{3}-x\right)\right]=\log_{3}\left(\frac{1}{9}-x^{2}\right)。$由$\begin{cases}\frac{1}{3}+x\gt0\frac{1}{3}-x\gt0\end{cases}$解得$-\frac{1}{3}\lt x\lt\frac{1}{3}，$$\therefore$函数F(x)的定义域为$\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)。$令$t=\frac{1}{9}-x^{2}，$则$t\in\left(0,\frac{1}{9}\right]，$$\therefore F(x)\leq\log_{3}\frac{1}{9}=-2，$
$\therefore F(x)$的值域为$(-\infty,-2]。$

15. 已知函数 $ y=\log _{a}\left(x^{2}-a x+2\right)(a＞0 $，且 $ a \neq 1) $ 在 $ [0,1] $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是(C)

A.$ (0,1) $
B.$ [2,3] $
C.$ [2,3) $
D.$ (2,+\infty) $

答案： 15.C

16. 对于等式 $ a^{b}=c(a＞0, a \neq 1) $，如果将 $ a $ 视为自变量 $ x $，$ b $ 视为常数，$ c $ 为关于 $ a $（即 $ x $）的函数，记为 $ y $，那么 $ y=x^{b} $ 是幂函数；如果将 $ a $ 视为常数，$ b $ 视为自变量 $ x $，$ c $ 为关于 $ b $（即 $ x $）的函数，记为 $ y $，那么 $ y=a^{x} $ 是指数函数；如果将 $ a $ 视为常数，$ c $ 视为自变量 $ x $，$ b $ 为关于 $ c $（即 $ x $）的函数，记为 $ y $，那么 $ y=\log _{a} x $ 是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.
（1）如果 $ c $ 为常数 $ \mathrm{e} $（$ \mathrm{e} $ 为自然对数的底数），将 $ a $ 视为自变量 $ x(x＞0, x \neq 1) $，那么 $ b $ 为 $ x $ 的函数，记为 $ y $，那么 $ x^{y}=\mathrm{e} $.试将 $ y $ 表示成 $ x $ 的函数 $ f(x) $；
（2）研究函数 $ f(x) $ 的性质.你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？

答案： 16.解：
(1)易知$f(x)=\frac{1}{\ln x}(x\gt0，$且$x\neq1)。$
(2)函数f(x)的定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)；$值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)。$单调性：在(0,1)上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递减。函数1：在$a^{b}=c$中，令c = e，b = x视为自变量$(x\neq0)，$a = y为关于x的函数，则$y^{x}=e\Rightarrow y = e^{\frac{1}{x}}(x\neq0)，$此函数的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)，$值域为$(0,1)\cup(1,+\infty)，$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递减。函数2：在$a^{b}=c$中，将c视为自变量x，b视为常数3，$a = y(a\gt0，$且$a\neq1)$视为关于x的函数，则$y^{3}=x，$$y=\sqrt[3]{x}，$定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)，$值域为$(0,1)\cup(1,+\infty)，$在$(0,1)\cup(1,+\infty)$上单调递增。