《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

12. 已知任意 $ 0 \leq x_{1} \leq 3 $，存在 $ \frac{1}{4} - m \leq x_{2} \leq 2 $，使得 $ x_{1} \geq x_{2} $，则实数 $ m $ 的取值范围是 m≥\frac{1}{4}。

答案： $12.m≥\frac{1}{4}$

13. 写出下列命题的否定，并判断其真假。
（1）$ p $：不论 $ m $ 取任何实数，方程 $ x^{2} + x - m = 0 $ 必有实数根；
（2）$ q $：存在一个实数 $ x $，使得 $ x^{2} + x + 3 \leq 0 $；
（3）$ r $：等圆的面积相等，周长相等。

答案： 13.解：
(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x²+
x−m=0有实数根，其否定形式是¬p：存在实数m，使得
x²+x−m=0没有实数根。当Δ=1+4m＜0，即$m＜−\frac{1}{4}$时，
一元二次方程没有实数根，
∴¬p是真命题。
(2)这一命题的否定形式是¬q：对所有实数x，都有x²+x+
3＞0。利用配方法可以验证¬q是一个真命题。
(3)这一命题的否定形式是¬r：存在一对等圆，其面积不相等
或周长不相等，由平面几何知识得¬r是一个假命题。

14. 已知命题 $ p $：$ \forall x \in \{ x | 1 \leq x \leq 2 \} $，$ a \geq x + 1 $，命题 $ q $：$ \exists x \in \mathbf{R}, 2x^{2} + 5x + a = 0 $，若 $ p $ 的否定是假命题，$ q $ 是真命题，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 14.解：
∵p的否定是假命题，
∴p是真命题，由“∀x∈{x|1≤
x≤2}，a≥x+1”为真命题，得a≥3。
∵q是真命题，
∴关于
x的方程2x²+5x+a=0有实数根，则Δ=25−8a≥0，解得
$a≤\frac{25}{8}。$综上，实数a的取值范围是$3≤a≤\frac{25}{8}。$

15. 立德中学开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“$ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + 2x + m \leq 0 $”是假命题，求 $ m $ 的范围。王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“$ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} + 2x + m ＞ 0 $”是真命题，求 $ m $ 的范围。你认为，两位同学题中 $ m $ 的范围是否一致？ 是(填“是”或“否”)

答案： 15.是

16. （2024·东营一中高一检测）是否存在整数 $ m $，使得命题“$ \forall x \geq -\frac{1}{4}, -5 ＜ 3 - 4m ＜ x + 1 $”是真命题？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。

答案： 16.解：假设存在整数m，使得命题$“∀x≥−\frac{1}{4}，$−5＜3−4m＜
x+1”是真命题。
∵当$x≥−\frac{1}{4}$时，$x+1≥\frac{3}{4}，$
∴−5＜3−
4m＜\frac{3}{4}，解得$\frac{9}{16}＜m＜2，$又m为整数，
∴m=1，故存在整数
m=1，使得命题$“∀x≥−\frac{1}{4}，$−5＜3−4m＜x+1”是真命题。