《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

9. (多选)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $ \pi $ 准确地记忆到小数点后面 $ 200 $ 位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字. 若记圆周率 $ \pi = 3.14159265358979323846264338327950288 \cdots $ 小数点后面第 $ n $ 位上的数字为 $ y $，则 $ y $ 是关于 $ n $ 的函数，记为 $ y = f(n) $. 设此函数的定义域为 $ A $，值域为 $ B $，则关于此函数，下列说法中正确的是(ACD)

A.$ - 2 \notin A $
B.$ 3.14 \in B $
C.$ f(4) = 5 $
D.$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $

答案： 9.ACD

10. 若 $ f(x) = \frac{2x}{x^2 + 2} $，则 $ f(1) = $\frac{2}{3}.

答案： $10.\frac{2}{3}$

11. 已知等腰三角形 $ ABC $ 的周长为 $ 10 $，底边长 $ y $ 关于腰长 $ x $ 的函数关系式为 $ y = 10 - 2x $，则此函数的定义域为\left\{x\mid\frac{5}{2}＜x＜5\right\}.

答案： $11.\left\{x\mid\frac{5}{2}＜x＜5\right\}$

12. 已知函数 $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1} $，$ g(x) = f(x - 3) $，则 $ g(x) = $\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}，函数 $ g(x) $ 的定义域为\left\{x\mid x\geq3,且x\neq4\right\}.

答案： $12.\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4} \left\{x\mid x\geq3,且x\neq4\right\}$

13. 已知函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $.
(1) 求 $ f(x) $ 的定义域；
(2) 求 $ f(-1) $，$ f(2) $ 的值；
(3) 当 $ a \neq - 1 $ 时，求 $ f(a + 1) $ 的值.

答案： 13.解：
(1)要使函数f(x)有意义，必须使$x\neq0，$$\therefore f(x)$的定义域是$\left\{x\mid x\neq0\right\}。$
$(2)f(-1)= -1 + \frac{1}{-1}= -2，$$f(2)= 2 + \frac{1}{2}= \frac{5}{2}。$
(3)当$a\neq -1$时，$a + 1\neq0，$$\therefore f(a + 1)= a + 1 + \frac{1}{a + 1}。$

14. 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 $ y = 10(1 + x)^2(0 ＜ x ＜ 1) $ 描述.

答案： 14.解：某地“桃花节”观赏人数逐年增加，设2022年的观赏人数为10万人次，观赏人数的年平均增长率为x(0＜x＜1)，预计2024年的观赏人数为y万人次，那么$y = 10(1 + x)^{2}，$0＜x＜1。(答案不唯一)

15. 定义域为 $ \{ x | x ＞ 1 \} $ 的函数 $ f(x) $ 满足下列两个条件：(1) 对任意的 $ x \in (1, + \infty) $ 恒有 $ f(2x) = 2f(x) $ 成立；(2) 当 $ x \in (1, 2] $ 时，$ f(x) = 2 - x $，则 $ f(3) = $1.

答案： 15.1

16. 已知函数 $ f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2} $.
(1) 求 $ f(2) $，$ f(\frac{1}{2}) $，$ f(3) $，$ f(\frac{1}{3}) $ 的值；
(2) 由(1) 中求得的结果，你能发现 $ f(x) $ 与 $ f(\frac{1}{x}) $ 之间有什么关系？请证明你的发现；
(3) 求 $ f(2) + f(\frac{1}{2}) + f(3) + f(\frac{1}{3}) + \cdots + f(2024) + f(\frac{1}{2024}) $ 的值.

答案： 16.解：$(1)\because f(x)= \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}= 1 - \frac{1}{1 + x^{2}}，$$\therefore f(2)= \frac{4}{5}，$$f(\frac{1}{2})= \frac{1}{5}，$$f(3)= \frac{9}{10}，$$f(\frac{1}{3})= \frac{1}{10}。$
(2)由
(1)中求得的结果发现$f(x)+f(\frac{1}{x})=1。$证明如下：
$f(x)+f(\frac{1}{x})= \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}= \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}} = 1。$
(3)由
(2)知$f(x)+f(\frac{1}{x})=1，$$\therefore f(2)+f(\frac{1}{2})=1，$$f(3)+f(\frac{1}{3})=1，$$f(4)+f(\frac{1}{4})=1，$$\cdots，$$f(2024)+f(\frac{1}{2024})=1，$
$\therefore f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+\cdots+f(2024)+f(\frac{1}{2024})=2023。$