《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

1. 下列运算中，正确的是(D)

A.$ a^{2\sqrt{2}}a^{3\sqrt{2}} = a^{6\sqrt{2}} $
B.$ (-a^{2})^{5} = (-a^{5})^{2} $
C.$ (\sqrt{a} - 2)^{0} = 1 $
D.$ (-a^{2\sqrt{2}})^{5} = -a^{10\sqrt{2}} $

答案： 1.D

2. 计算：$ 3^{\pi} × (\frac{1}{3})^{\pi} + (2^{2\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} + 1^{\sqrt{5}} $等于(B)

A.17
B.18
C.6
D.5

答案： 2.B

3. 一张报纸，其厚度为 0.1 毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10 次，这时，报纸的厚度为(C)

A.2.56 厘米
B.5.12 厘米
C.10.24 厘米
D.20.48 厘米

答案： 3.C

4. $ (2\frac{1}{4})^{-0.5} + \sqrt[3]{27} × 3^{-2} - (1 - \pi)^{0} $等于(D)

A.$ \pi $
B.2
C.1
D.0

答案： 4.D

5. 已知 $ x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 5 $，则 $ \frac{x^{2} + 1}{x} $的值为(B)

A.5
B.23
C.25
D.27

答案： 5.B

6. 设 $ x $，$ y $都是正数，且 $ x^{y} = y^{x} $，$ y = 9x $，则 $ x $的值为(B)

A.$ \frac{1}{9} $
B.$ \sqrt[4]{3} $
C.1
D.$ \sqrt[3]{9} $

答案： 6.B

7. 设 $ a = \sqrt[4]{24} $，$ b = \sqrt[3]{12} $，$ c = \sqrt{6} $，则 $ a $，$ b $，$ c $的大小关系是(D)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ c ＞ a $
C.$ b ＞ a ＞ c $
D.$ a ＜ b ＜ c $

答案： 7.D

8. (多选)下列计算中，正确的有(BC)

A.$ \sqrt[12]{(-3)^{4}} = \sqrt[3]{-3} $
B.$ (a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}) ÷ (\frac{1}{3}a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}}) = -9a $($ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $)
C.$ \sqrt{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{3} $
D.已知 $ x^{2} + x^{-2} = 2 $，则 $ x + x^{-1} = 2 $

答案： 8.BC

9. (多选)已知函数 $ f(x) = \frac{\pi^{x} - \pi^{-x}}{2} $，$ g(x) = \frac{\pi^{x} + \pi^{-x}}{2} $，则下列关系式中，$ f(x) $，$ g(x) $满足的有(AC)

A.$ f(-x) + g(-x) = g(x) - f(x) $
B.$ f(x) - g(x) = \pi^{-x} $
C.$ f(2x) = 2f(x)g(x) $
D.$ [f(x)]^{2} - [g(x)]^{2} = 1 $

答案： 9.AC

10. 化简 $ \frac{(\sqrt{2})^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{\sqrt{2}}}}{\sqrt[3]{8^{\sqrt{2}}}} = $1.

答案： 10.1

11. 已知 $ a^{2x} = 3 $，则 $ \frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^{x} + a^{-x}} $的值为\frac{7}{3}.

答案： $11.\frac{7}{3}$

12. 已知 $ 2^{x} = 8^{y + 1} $，$ 9^{y} = 3^{x - 9} $，则 $ x + y = $27.

答案： 12.27

13. （1）当 $ x = \sqrt{2 + \sqrt{2}} $，$ y = 2 - \sqrt{2} $时，求 $ (x^{\frac{2}{3}} - y^{-\frac{1}{3}}) \cdot (x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}} + y^{-\frac{2}{3}}) $的值；
（2）若 $ a^{2x} = \sqrt{2} - 1 $，求 $ a^{x} + a^{-x} $的值.

答案： 13.解：
(1)原式=$(x^{\frac{2}{3}}-y^{-\frac{1}{3}})[(x^{\frac{2}{3}})^2+x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}}+(y^{-\frac{1}{3}})^2]=(x^{\frac{2}{3}})^3-(y^{-\frac{1}{3}})^3=x^2-y^{-1}$,又$x=\sqrt{2+\sqrt{2}}$,$\therefore x^2=2+\sqrt{2}$,$\because y=2-\sqrt{2}$,$\therefore y^{-1}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore x^2-y^{-1}=$$2+\sqrt{2}-(1+\frac{\sqrt{2}}{2})=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)由$a^{2x}=\sqrt{2}-1$得$a^{-2x}=\sqrt{2}+1$,$\therefore (a^x+a^{-x})^2=a^{2x}+a^{-2x}+2=2\sqrt{2}+2$,$\therefore a^x+a^{-x}=\pm\sqrt{2\sqrt{2}+2}$.