《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

12. （2025·江苏高一阶段检测）设命题 $p$：$x \in A = \{x|-1 ＜ x ＜ 3\}$，命题 $q$：$x \in B = \{x|2 - a ＜ x ＜ 2 + a\}$，若 $p$ 是 $q$ 成立的必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是______。

答案： $12.(-\infty,1]$

13. 判断下列各题的 $p$ 是 $q$ 的什么条件。
（1）$p$：$x^2 = 2x + 1$，$q$：$x = \sqrt{2x + 1}$；
（2）$p$：$a^2 + b^2 = 0$，$q$：$a + b = 0$；
（3）$p$：$\triangle ABC$ 有两个角相等，$q$：$\triangle ABC$ 是正三角形；
（4）$p$：$A \cap B = A$，$q$：$\complement_U B \subseteq \complement_U A$。

答案： 13. 解：$(1)\because x^{2}=2x + 1\Rightarrow x=\sqrt{2x + 1}，$$x=\sqrt{2x + 1}\Rightarrow x^{2}=2x + 1，$$\therefore p$是q的必要条件.
$(2)\because a^{2}+b^{2}=0\Rightarrow a = b = 0\Rightarrow a + b = 0，$$a + b = 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}=0，$
$\therefore p$是q的充分条件.
(3)在$\triangle ABC$中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正
三角形，即$p\not\Rightarrow q，$且$q\Rightarrow p，$$\therefore p$是q的必要条件.
$(4)\because A\cap B = A\Rightarrow A\subseteq B\Rightarrow \complement_{U}B\subseteq \complement_{U}A，$反之也成立，$\therefore p$是q
的充分条件，且p是q的必要条件.

14. （2024·台州一中高一期中）已知集合 $A = \{x|1 ＜ x ＜ 3\}$，集合 $B = \{x|2m ＜ x ＜ 1 - m\}$。
（1）若 $A \cap B = \varnothing$，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）若 $p$：$x \in A$，$q$：$x \in B$，$p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围。

答案： 14. 解：
(1)①当$B = \varnothing$时，$2m\geqslant 1 - m，$解得$m\geqslant \frac{1}{3}，$满足题意；②当
$B\neq \varnothing$时，若$A\cap B = \varnothing，$则$\begin{cases}2m ＜ 1 - m,\\1 - m\leqslant 1,\end{cases}$或$\begin{cases}2m ＜ 1 - m,\\2m\geqslant 3,\end{cases}$
解得$0\leqslant m ＜ \frac{1}{3}.$综上，实数m的取值范围是$m\geqslant 0.$
(2)若p是q的充分条件，则$A\subseteq B，$$\therefore\begin{cases}2m\leqslant 1,\\1 - m\geqslant 3,\end{cases}$解得$m\leqslant$
2，$\therefore$实数m的取值范围是$m\leqslant - 2.$

15. 某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，开设了一些社会活动小组。甲、乙两组同学在参加的社团活动中，设计了如下两个电路图，并根据在数学课上所学的有关充分条件与必要条件的知识，提出了下面两个问题：

（1）①中开关 $A$ 闭合是灯泡 $B$ 亮的什么条件？
（2）②中开关 $A$ 闭合是灯泡 $B$ 亮的什么条件？
请根据所学知识解答上述两个问题。

答案： 15. 解：
(1)充分条件.
(2)必要条件.

16. (2024·山东东营一中高一检测)从①$\{x|a - 1 \leq x \leq a\}$，②$\{x|a \leq x \leq a + 2\}$，③$\{x|\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a} + 3\}$这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 $a$ 存在，求出 $a$ 的值；若 $a$ 不存在，请说明理由。
已知集合 $A =$，$B = \{x|1 \leq x \leq 3\}$。若“$x \in A$”是“$x \in B$”的充分条件，但不是必要条件，求实数 $a$ 的取值范围。

答案： 16. 解：由题意知，A不为空集，$B = \{x\mid1\leqslant x\leqslant 3\}. $当选条件①时，
$\because “x\in A”$是$“x\in B”$的充分条件，但不是必要条件，$\therefore A\subsetneqq B，$
$\begin{cases}1\leqslant a - 1,\\a ＜ 3,\end{cases}$或$\begin{cases}1 ＜ a - 1,\\a\leqslant 3,\end{cases}$解得$2\leqslant a\leqslant 3，$$\therefore$实数a的取值范围
是$\{a\mid2\leqslant a\leqslant 3\}；$当选条件②时，$\because “x\in A”$是$“x\in B”$的充分
条件，但不是必要条件，$\therefore A\subsetneqq B.\because\begin{cases}a\geqslant 1,\\a + 2\leqslant 3,\end{cases}$且等号不能同
时取得，$\therefore$不存在a的值满足题意；当选条件③时，$\because “x\in A”$
是$“x\in B”$的充分条件，但不是必要条件，$\therefore A\subsetneqq B，$
$\begin{cases}\sqrt{a}\geqslant 1,\\\sqrt{a}+3 $＜ 3,\end{cases}或\begin{cases}\sqrt{a}＞$1,\\\sqrt{a}+3\leqslant 3,\end{cases}$该不等式组无解. 故不存在a的
值满足题意.