《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. （2024·效实中学高一检测）作出函数 $ y = \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) + 1 $ 在 $ \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \right] $ 上的图象。

答案：
13.解:列表如下:
|$x-\frac{\pi}{6}$|$0$|$\frac{\pi}{2}$|$\pi$|$\frac{3\pi}{2}$|$2\pi$|
|----|----|----|----|----|----|
|$x$|$\frac{\pi}{6}$|$\frac{2\pi}{3}$|$\frac{7\pi}{6}$|$\frac{5\pi}{3}$|$\frac{13\pi}{6}$|
|$y = \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1$|$1$|$2$|$1$|$0$|$1$|
描点并用光滑的曲线连接得函数$y=\sin (x-\frac{\pi}{6})+1(x\in [\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6}])$的图象，如图所示

14. 求下列函数的定义域：
（1）$ y = \log_3 \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $；
（2）$ y = \sqrt{2\cos x - \sqrt{2}} $。

答案：
14.解:
(1)要使函数有意义，则$\sin x＞\frac{\sqrt{3}}{2}$，在$[0,2\pi]$内使$\sin x＞\frac{\sqrt{3}}{2}$的$x$的取值范围是$(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$.
∴原函数的定义域为$(2k\pi+\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3})(k\in \mathbf{Z})$.
(2)要使函数有意义，则$2\cos x-\sqrt{2}\geqslant0$，
∴$\cos x\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}$，画出$y = \cos x$的图象及直线$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，如图所示

由图象可知函数的定义域为$[2k\pi-\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{\pi}{4}](k\in \mathbf{Z})$.

15. (多选)(2024·江西抚州高一期中)函数 $ y = |\cos x| $，$ x \in \left( \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right) $ 的图象与直线 $ y = t $($ t $ 为常数，$ t \in \mathbf{R} $)的交点可能有(ABC)

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

答案： 15.ABC

16. 若函数 $ f(x) = 1 + 4\sin x - t $ 在区间 $ \left( \frac{\pi}{6}, 2\pi \right) $ 上有 2 个零点，求 $ t $ 的取值范围。

答案：
16.解:令$f(x)=0$，可得$\sin x=\frac{t - 1}{4}$，可知两个函数在区间$(\frac{\pi}{6},2\pi)$上的图象有两个交点，作出函数$y = \sin x$与$y = \frac{t - 1}{4}$在区间$(\frac{\pi}{6},2\pi)$上的图象，如图所示，则$\frac{1}{2}＜\frac{t - 1}{4}＜1$，或$-1＜\frac{t - 1}{4}＜0$，解得$3＜t＜5$，或$-3＜t＜1$.