《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

12. 若 $ a $，$ b $ 都是实数，试从①$ a b = 0 $；②$ a + b = 0 $；③$ a ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) = 0 $；④$ a b ＞ 0 $ 中选出满足下列条件的式子，并用序号填空：
(1)$ a $，$ b $ 都为 $ 0 $ 的必要条件是①②③；
(2)$ a $，$ b $ 都不为 $ 0 $ 的充分条件是④；
（3）$ a $，$ b $ 至少有一个为 $ 0 $ 的充要条件是______.

答案： 12.
(1)①②③
(2)④
(3)①

13. 指出下列各题中 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）.
（1）$ p:x - 3 = 0 $，$ q:( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 $；
（2）$ p $：两个三角形相似，$ q $：两个三角形全等；
（3）$ p $：关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，$ q:a ＞ - 1 $；
（4）$ p:A \cup B = A $，$ q:A \cap B = B $.

答案： 13.解：
(1)x-3=0⇒(x-2)·(x-3)=0，但(x-2)(x-3)=0⇏x-3=0，故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件.
(3)由方程有两个不相等的实数根，知Δ＞0，且a≠0，得a＞-1，且a≠0，即p⇒q；反之，当a=0时，方程只有一个实数根，即q⇏p，故p是q的充分不必要条件.
(4)
∵A∪B=A⇔A∩B=B，
∴p是q的充要条件.

14. 已知 $ a b \neq 0 $，求证：$ a + b = 1 $ 的充要条件是 $ a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + a b - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 0 $.
注：$ a ^ { 3 } + b ^ { 3 } = ( a + b ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - a b ) $.

答案： 14.证明：先证必要性：
∵a+b=1，
∴b=1-a，
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²=0.再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0，
∴(a+b)·(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0，即(a²-ab+b²)·(a+b-1)=0，
∵ab≠0，$a²-ab+b²=(a-\frac{b}{2})²+\frac{3}{4}b²＞0，$
∴a+b-1=0，即a+b=1.得证.

15. 设集合 $ U = \{ ( x, y ) | x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R} \} $，$ A = \{ ( x, y ) | 2 x - y + m ＞ 0 \} $，$ B = \{ ( x, y ) | x + y - n \leq 0 \} $，那么点 $ P ( 2,3 ) \in A \cap ( \complement _ { U } B ) $ 的充要条件是(A)

A.$ m ＞ - 1 $，$ n ＜ 5 $
B.$ m ＜ - 1 $，$ n ＜ 5 $
C.$ m ＞ - 1 $，$ n ＞ 5 $
D.$ m ＜ - 1 $，$ n ＞ 5 $

答案： 15.A

16. （2024·张家口一中高一检测）已知 $ P = \{ x | 1 \leq x \leq 4 \} $，$ S = \{ x | 1 - m \leq x \leq 1 + m \} $.
（1）是否存在实数 $ m $，使 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的充要条件？若存在，求出 $ m $ 的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）是否存在实数 $ m $，使 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的必要条件？若存在，求出 $ m $ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案： 16.解：
(1)要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S，即$\begin{cases}1-m=1,\\1+m=4,\end{cases}$无解，
∴不存在实数m，使P是S的充要条件.
(2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
当S=∅时，1-m＞1+m，解得m＜0；当S≠∅时，1-m≤1+m，解得m≥0，要使S⊆P，则有$\begin{cases}1-m≥1,\\1+m≤4,\end{cases}$解得m≤0，
∴m=0.综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是m≤0.