《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

9. 一种带有密钥系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理如下：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密). 现在已知加密密钥为 $ y = x^{\alpha} $($ \alpha $ 为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”. 若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是9.

答案： 9.9

10. 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低. 某种品牌的饼干，其 100 克装的售价为 1.6 元，400 克装的售价为 4.8 元. 假定该商品的售价由生产成本、包装成本、利润三部分组成，生产成本与饼干质量成正比且系数为 $ m $，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为 $ n $，利润率为 $ 20\% $，则该种饼干 900 克装的合理售价为9.6元.

答案： 10.9.6

11. 某市经测算，2024 年 6 月每日处理厨余垃圾的成本 $ P $（单位：元）与日处理量 $ x $（单位：吨）之间的函数解析式可近似地表示为 $ P = \begin{cases} 40x, & 0 \leq x \leq 20, \\ \dfrac{1}{2}x^2 + 76x - 1000, & 20 ＜ x \leq 30 \end{cases} $，且每处理 1 吨厨余垃圾，可得到价值为 100 元的化工产品的收益.
(1) 设纯收益为 $ y $ 元，请写出函数 $ y = f(x) $ 的解析式（纯收益 = 总收益 - 成本）；
(2) 该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得的日纯收益最大？

答案： 11. 解：
(1) 由题意可得 $f(x) = 100x - P = \begin{cases}100x - 40x, & 0 \leq x \leq 20, \\100x - (\frac{1}{2}x^2 + 76x - 1000), & 20 ＜ x \leq 30,\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}60x, & 0 \leq x \leq 20, \\-\frac{1}{2}x^2 + 24x + 1000, & 20 ＜ x \leq 30.\end{cases}$
(2) 当 $0 \leq x \leq 20$ 时，$f(x) = 60x$ 单调递增，可得 $f(x)$ 的最大值为 $f(20) = 1200$; 当 $20 ＜ x \leq 30$ 时，$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 24x + 1000 = -\frac{1}{2}(x - 24)^2 + 1288$，当 $x = 24$ 时，$f(x)$ 的最大值为 $1288$. $\because 1288 ＞ 1200$, $\therefore$ 该公司每日处理厨余垃圾 $24$ 吨时，获得的日纯收益最大.

12. （2024·鲁迅中学高一检测）某单位有员工 1 000 名，平均每人每年创造利润 10 万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 $ x(x \in \mathbf{N}^*) $ 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造的利润为 $ 10\left(a - \dfrac{3x}{500}\right) $ 万元（$ a ＞ 0 $），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 $ 0.2x\% $.
(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2) 在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润的条件下，要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 $ a $ 的取值范围是多少？

答案： 12. 解：
(1)由题意，得 $10(1000 - x)(1 + 0.2x\%) \geq 10 × 1000$，即 $x^2 - 500x \leq 0$. 又 $x ＞ 0$, $\therefore 0 ＜ x \leq 500$，即最多调整出 $500$ 名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 $10(a - \frac{3x}{500})x$ 万元，从事原来产业的员工的年总利润为 $10(1000 - x)(1 + \frac{1}{500}x)$ 万元，则 $10(a - \frac{3x}{500})x \leq 10(1000 - x)(1 + \frac{1}{500}x)$，
$\therefore ax - \frac{3x^2}{500} \leq 1000 + 2x - x - \frac{1}{500}x^2$，$\therefore ax \leq \frac{2x^2}{500} + 1000 + x$，即 $a \leq \frac{2x}{500} + \frac{1000}{x} + 1$ 在 $x \in (0,500]$ 时恒成立. $\because \frac{2x}{500} + \frac{1000}{x} \geq 2\sqrt{4} = 4$，当且仅当 $\frac{2x}{500} = \frac{1000}{x}$，即当 $x = 500$ 时，等号成立，$\therefore a \leq 5$. 又 $a ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ a \leq 5$，$\therefore a$ 的取值范围为 $(0,5]$.