《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 已知 $ 3 ＜ a + b ＜ 4 $，$ 0 ＜ b ＜ 1 $，求下列各式的取值范围：
（1）$ a $；（2）$ a - b $；（3）$ \frac{a}{b} $.

答案： 13.解：
(1)
∵3＜a+b＜4,0＜b＜1,
∴-1＜-b＜0,
∴2＜a+b+(-b)＜4,即2＜a＜4,
∴a的取值范围是{a∣2＜a＜4}。
(2)
∵0＜b＜1,
∴-1＜-b＜0.又2＜a＜4,
∴1＜a-b＜4,
∴a-b的取值范围是{a-b∣1＜a-b＜4}。
(3)
∵0＜b＜1,
∴$\frac{1}{b}＞1,$又2＜a＜4,
∴$\frac{a}{b}＞2,$
∴$\frac{a}{b}$的取值范围是${\frac{a}{b}∣\frac{a}{b}＞2}。$

14. 若 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ c ＜ d ＜ 0 $，$ e ＜ 0 $，证明：$ \frac{e}{(a - c)^{2}} ＞ \frac{e}{(b - d)^{2}} $.

答案： 14.证明：由c＜d＜0,得-c＞-d＞0，
又a＞b＞0,
∴a-c＞b-d＞0,则$(a-c)^2＞(b-d)^2＞0,$
因此$\frac{1}{(a-c)^2}$＜\frac{1}{(b-d)^2},又e＜0,
∴\frac{e}{(a-c)^2}＞$\frac{e}{(b-d)^2}。$

15. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“$ = $”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“$ ＜ $”和“$ ＞ $”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 若 $ a $，$ b $，$ c \in \mathbf{R} $，则下列说法中，正确的是(C)

A.若 $ a ＞ 0 $，则 $ a^{2} + 1 ＞ (a - 1)(a + 2) $
B.若 $ a ＞ b ＞ 0 $，则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $
C.若 $ a ＞ b $，且 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $，则 $ ab ＞ 0 $
D.若 $ a ＞ b ＞ 0 $，则 $ \frac{a}{a^{2} + 1} ＞ \frac{b}{b^{2} + 1} $

答案： 15.C

16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于 $ 10\% $，而且这个比值越大，采光效果越好. 设某所公寓的窗户面积为 $ a \ m^{2} $，地板面积为 $ b \ m^{2} $.
（1）若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为 $ 330 \ m^{2} $，求这所公寓的最小窗户面积；
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为 $ t \ m^{2} $，则这所公寓的采光效果是变好了还是变差了？请说明理由.

答案： 16.解：
(1)根据题意可得$\begin{cases}a+b=330,\frac{a}{b}\geq10\%,\end{cases}$解得$a\geq30,$
∴这所公寓的最小窗户面积为30m²。
(2)同时增加窗户面积和地板面积后，比值为$\frac{a+t}{b+t}$
∴$\frac{a+t}{b+t}-\frac{a}{b}=\frac{ab+tb-ab-at}{b(b+t)}=\frac{t(b-a)}{b(b+t)},$且b＞0,t＞0,b＞a,
∴$\frac{a+t}{b+t}-\frac{a}{b}=\frac{t(b-a)}{b(b+t)}＞0,$
∴$\frac{a+t}{b+t}＞\frac{a}{b},$
∴同时增加相同的窗户面积和地板面积后，这所公寓的采光效果变好了。