《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
（1）$ f(x) = -x^2 + 2x - 1 $；
（2）$ f(x) = x^4 - x^2 $；
（3）$ f(x) = 4^x + 5 $；
（3）$ f(x) = \log_3(x + 1) $.

答案： 13.解:
(1)令f(x)=0，解得x₁=x₂=1，
∴该函数的零点为1.
(2)令x²(x−1)(x+1)=0，解得x=0，或x=1，或x=−1，故该函数的零点为0，−1和1.
(3)令4^x+5=0，则4^x=−5，
∵4^x＞0，−5＜0，
∴方程4^x+5=0无实数解，
∴该函数不存在零点.
(4)令log₃(x+1)=0，解得x=0，
∴该函数的零点为0.

14. （2024·山东日照高一期中）已知函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2x - 1) = 4x^2 - 2x + 3 $.
（1）求函数 $ f(x) $ 的解析式；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ f(x) = (1 - 2m)x + 2 - 2m $ 有两个实根，其中一个实根在区间 $ (-1,0) $ 内，另一个实根在区间 $ (2,3) $ 内，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 14.解:
(1)
∵函数f(x)满足f(2x−1)=4x²−2x+3=(2x−1)²+2x−1+3，
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x²+x+3.
(2)由f(x)=x²+x+3=(1−2m)x+2−2m，整理得x²+2mx+1+2m=0，设g(x)=x²+2mx+1+2m，由二次函数的图象与性质，可得
\begin{cases}g(-1)=2＞0,\\g
(0)=1+2m＜0,\\g
(3)=8m+10＞0,\\g
(2)=5+6m＜0,\end{cases}
解得−$\frac{5}{4}$＜m＜−$\frac{5}{6}$，故实数m的取值范围是(−$\frac{5}{4}$，−$\frac{5}{6}$).

15. $ f(x) = \ln |x - 2| - m(m \in \mathbf{R}) $ 的所有零点之和为4.

答案： 15.4

16. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases}|\ln x|,x ＞ 0,\\-x^2 - 3x,x \leq 0.\end{cases} $
（1）在图中作出函数 $ f(x) $ 的图象（直接作图，不需写出作图过程）；
（2）求函数 $ y = 4[f(x)]^2 - 13f(x) + 9 $ 的零点个数.

答案：
16.解:
(1)函数f(x)的图象如图所示.
　　　　　　　
(2)在方程4[f(x)]²−13f(x)+9=0中，令t=f(x)，则4t²−13t+9=(t−1)(4t−9)=0，解得t=1，或t=$\frac{9}{4}$，即f(x)=1，或f(x)=$\frac{9}{4}$.由f(x)的图象可知，直线y=$\frac{9}{4}$与f(x)的图象有3个公共点，即f(x)=$\frac{9}{4}$有3个不同的实数解；直线y=1与f(x)的图象有4个公共点，即f(x)=1有4个不同的实数解.综上所述，函数y=4[f(x)]²−13f(x)+9的零点个数为3+4=7.