《2025年全效核心素养测评高中数学必修第一册人教版》

13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度$v$（单位：m/s）和燃料的质量$M$（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量$m$（单位：kg）满足$e^{v} = (1 + \frac{M}{m})^{2000}$（$e$为自然对数的底数）.当燃料的质量$M$为火箭（除燃料外）质量$m$的两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s）（参考数据：$\ln 3\approx 1.099$）.

答案： 13.解
∵$v=ln\left(1+\frac{M}{m}\right)^{2000}=2000ln\left(1+\frac{M}{m}\right)，$
∴v=2000ln3≈
2000×1.099=2198(m/s)，故当燃料质量M为火箭(除燃料
外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.

14. （2024·泰安高一检测）用计算器计算：$\log_{2}3×\log_{3}2$，$\log_{0.4}6×\log_{6}0.4$.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明.

答案： 14.解：$log_{2}3×log_{3}2=1，$$log_{6}0.4×log_{6}0.4^{-1}=1，$结论$log_{b}a·log_{a}b=1，$
证明如下：设c＞0，且c≠1，由换底公式得：$log_{a}b·log_{b}a=$
$\frac{log_{c}b}{log_{c}a}·\frac{log_{c}a}{log_{c}b}=1.$

15. (2024·汕头潮阳区高一期末)记$A = 1× 2× 3×\cdots× 2024$，那么$\frac{1}{\log_{2}A} + \frac{1}{\log_{3}A} + \frac{1}{\log_{4}A} + \cdots + \frac{1}{\log_{2024}A} = $1.

答案： 15.1

16. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为有了运算，数才有无限的威力；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
（1）试利用对数的运算性质计算$\frac{\lg 3}{\lg 4}\cdot(\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$的值；
（2）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断$2^{2024}$的位数（$\lg 2\approx 0.3010$）.

答案： 16.解：
(1)原式$=\frac{lg3}{2lg2}×(\frac{3lg2}{2lg3}+\frac{4lg2}{3lg3})=\frac{lg3}{2lg2}×\frac{17lg2}{6lg3}=\frac{17}{12}.$
(2)设$2^{2024}=t，$则lgt=2024·lg2，又lg2≈0.3010，
∴lgt≈
2024×0.3010=609.224，
∴$t≈10^{609.224}，$则$t∈(10^{609},10^{610})，$
∴$2^{2024}$的位数为610.