《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

12. 某同学做一道数学题:已知两个多项式 $A$ 和 $B$, $B= 3x^{2}y-5xy+x+7$, 试求 $A+B$. 这名同学把 $A+B$ 误看成 $A-B$, 求出的结果为 $6x^{2}y+12xy-2x-9$.
(1) 请求出 $A+B$ 的正确结果;
(2) 若 $A-3B$ 的值与 $x$ 的取值无关,是一个固定值,求 $y$ 的值.

答案：
(1) 因为 $A - B = 6x^{2}y + 12xy - 2x - 9$，$B = 3x^{2}y - 5xy + x + 7$，所以 $A = (6x^{2}y + 12xy - 2x - 9)+(3x^{2}y - 5xy + x + 7)=9x^{2}y + 7xy - x - 2$，则 $A + B=(9x^{2}y + 7xy - x - 2)+(3x^{2}y - 5xy + x + 7)=12x^{2}y + 2xy + 5$。
(2) $A - 3B=(9x^{2}y + 7xy - x - 2)-3(3x^{2}y - 5xy + x + 7)=9x^{2}y + 7xy - x - 2 - 9x^{2}y + 15xy - 3x - 21=(22y - 4)x - 23$。因为 $A - 3B$ 的值与 $x$ 的取值无关，所以 $22y - 4 = 0$，解得 $y=\frac{2}{11}$。
综上，
(1) $A + B = 12x^{2}y + 2xy + 5$；
(2) $y=\frac{2}{11}$。

将 7 张相同的小长方形纸片(如图①)按图②的方式不重叠地放在长方形 $ABCD$ 内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$, 已知小长方形纸片的长为 $a$, 宽为 $b$, 且 $a＞b$.
(1) 当 $a= 9$, $b= 2$, $AD= 30$ 时,求:
① 长方形 $ABCD$ 的面积;
② $S_{1}-S_{2}$ 的值.
(2) 当 $AD= 30$ 时,请用含 $a$, $b$ 的代数式表示 $S_{1}-S_{2}$.
(3) 若 $AB$ 的长不变, $AD$ 变长,将这样 7 张相同的小长方形纸片仍然按照同样的方式放在长方形 $ABCD$ 内,而 $S_{1}-S_{2}$ 的值保持不变,则 $a$, $b$ 满足的关系是______.
(1)①510②90(2)30a - 90b(3)a = 3b

答案： 1. （1）①
首先求$AB$的长：
由图可知$AB = 4b + a$，已知$a = 9$，$b = 2$，则$AB=4×2 + 9=17$。
又已知$AD = 30$，根据长方形面积公式$S=$长$×$宽，长方形$ABCD$的面积$S = AB× AD$。
把$AB = 17$，$AD = 30$代入可得$S=17×30 = 510$。
②
先求$S_{1}$和$S_{2}$：
$S_{1}=a(AD - 3b)$，$S_{2}=3b(AD - a)$。
当$a = 9$，$b = 2$，$AD = 30$时，$S_{1}=9×(30 - 3×2)=9×24 = 216$，$S_{2}=3×2×(30 - 9)=6×21 = 126$。
则$S_{1}-S_{2}=216 - 126=90$。
2. （2）
解：
因为$S_{1}=a(AD - 3b)$，$S_{2}=3b(AD - a)$，$AD = 30$。
所以$S_{1}-S_{2}=a(30 - 3b)-3b(30 - a)$。
展开式子：$S_{1}-S_{2}=30a-3ab - 90b + 3ab$。
合并同类项得$S_{1}-S_{2}=30a-90b$。
3. （3）
解：
设$AD=x$，则$S_{1}=a(x - 3b)$，$S_{2}=3b(x - a)$。
所以$S_{1}-S_{2}=a(x - 3b)-3b(x - a)=ax-3ab - 3bx + 3ab=(a - 3b)x$。
因为$AB$的长不变，$AD$变长，$S_{1}-S_{2}$的值保持不变，即$S_{1}-S_{2}$与$x$无关。
所以$a - 3b = 0$，即$a = 3b$。
综上，答案依次为：（1）①$510$；②$90$；（2）$30a - 90b$；（3）$a = 3b$。