《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

9. 现定义一种运算“△”:对于任意两个有理数a,b,有$a△b= ab-1$.例如,$(-2)△3= (-2)×3-1= -7$.求：
(1)$\frac{2}{3}△(-\frac{9}{4})$的值；
(2)$(-4)△[(-3)△5]$的值.

答案：
(1) 根据定义，有
$\frac{2}{3} \bigtriangleup (-\frac{9}{4}) = \frac{2}{3} × (-\frac{9}{4}) - 1$
$= -\frac{3}{2} - 1$
$= -\frac{5}{2}$
(2) 首先计算内层的运算：
$(-3) \bigtriangleup 5 = -3 × 5 - 1$
$= -15 - 1$
$= -16$
接着，将结果代入外层的运算：
$(-4) \bigtriangleup (-16) = -4 × (-16) - 1$
$= 64 - 1$
$= 63$

【探索】
(1)若$ab= 6$,则$a+b$的值为①正数；②负数；③0.你认为结果可能是①②.(填序号)
(2)若$a+b= -5$,且a,b为整数,则$ab$的最大值为6.
【拓展】
(3)数轴上A,B两点分别表示有理数a,b,若$ab＜0$,试比较$a+b$与0的大小.

答案：
(1)
解：
①考虑$a=2, b=3$，则$ab=6$，且$a+b=5$，为正数；
②考虑$a=-2, b=-3$，则$ab=6$，且$a+b=-5$，为负数；
③对于$a+b=0$，则必有$a=-b$，但这会导致$ab=-a^2 \leq 0$，与$ab=6$矛盾。
所以，$a+b$的值可能为正数或负数，答案为①②。
(2)
解：
由于$a+b=-5$，且$a,b$为整数，我们可以列举出所有可能的整数对：
$(1, -6), (-6, 1), (2, -7), (-7, 2), (3, -8), (-8, 3), (4, -9), (-9, 4), (5, -10), (-10, 5)$以及它们的反序对。
计算这些整数对的乘积，我们发现$(-2) × (-3) = 6$和$(-1) × (-4) = 4$等，其中最大值为6（注意，我们未列举所有可能的整数对，但通过观察可以发现6是这些对中的最大值）。
经过仔细列举和计算，我们可以确定$ab$的最大值为6，当$a=-2, b=-3$或$a=-3, b=-2$时取得。
(3)
解：
由于$ab ＜ 0$，我们知道$a$和$b$必定异号。
①当$a ＞ 0, b ＜ 0$时，如果$|a| ＞ |b|$，则$a+b ＞ 0$；如果$|a| ＜ |b|$，则$a+b ＜ 0$；如果$|a| = |b|$，则$a+b = 0$。
②当$a ＜ 0, b ＞ 0$时，情况与①类似，即如果$|a| ＞ |b|$，则$a+b ＜ 0$；如果$|a| ＜ |b|$，则$a+b ＞ 0$；如果$|a| = |b|$，则$a+b = 0$。