《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

12. 阅读下面的计算过程,并解决问题.
计算：$53.27-(-18)+(-21)+46.73-(+15)+21$.
解：原式$=53.27 + 18 - 21 + 46.73 - 15 + 21$ 第1步
$=(53.27 + 46.73)+(21 - 21)+(18 - 15)$ 第2步
$=100 + 0 + 3$ 第3步
$=103$
(1)上述计算过程中,第1步把原式化成省略加号和括号的形式,体现了数学中的______转化思想,为了计算简便,第2步应用了运算律中的______加法交换律和结合律；
(2)计算：$-21\frac{2}{3}+3\frac{1}{4}-(-\frac{2}{3})-(+\frac{1}{4})$.

答案：
(1) 上述计算过程中,第1步把原式化成省略加号和括号的形式,体现了数学中的转化思想,为了计算简便,第2步应用了运算律中的加法交换律和结合律；
(2)
解：
原式$=-21\frac{2}{3}+3\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$
$=(-21\frac{2}{3}+\frac{2}{3})+(3\frac{1}{4}-\frac{1}{4})$
$=-21 + 3$
$=-18$

对任意有理数a,b,定义一种新运算“⊕”,规则如下：$a⊕b = |a + b|$.例如,$2⊕(-1)= |2+(-1)| = 1$.
(1)求$[5⊕(-2)]⊕4$的值.
(2)我们知道有理数的加法运算满足交换律和结合律.请探究这种新运算“⊕”是否也满足交换律和结合律.若满足,请说明理由；若不满足,请举一个反例说明.

答案：
(1)
首先计算内层的运算：
$5⊕(-2) = |5 + (-2)| = |3| = 3$
接着计算外层的运算：
$3⊕4 = |3 + 4| = |7| = 7$
所以，$[5⊕(-2)]⊕4 = 7$。
(2)
交换律：
对于任意的有理数$a$和$b$，
$a⊕b = |a + b|$
$b⊕a = |b + a|$
由于加法满足交换律，即$a + b = b + a$，所以
$|a + b| = |b + a|$
因此，新运算“⊕”满足交换律。
结合律：
考虑一个反例来说明新运算“⊕”不满足结合律。
取$a = -1, b = 2, c = -3$，则
$a⊕(b⊕c) = -1⊕|2 + (-3)| = -1⊕1 = |-1 + 1| = 0$
而
$(a⊕b)⊕c = |-1 + 2|⊕(-3) = 1⊕(-3) = |1 + (-3)| = 2$
由于$0 \neq 2$，所以新运算“⊕”不满足结合律。