《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等。类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2记作2^{\circledR}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^{\circledR}$,读作“-3的圈4次方”。一般地,把$\underbrace{a÷ a÷ a÷\ …\ ÷ a}_{n个a}(a\neq0)记作a^{\circledR}$,读作“a的圈n次方”。
(1)直接写出计算结果：$2^{\circledR}=$______,$(-\frac{1}{2})^{\circledR}=$______；
(2)将下列运算结果直接写成幂的形式：$5^{\circledR}=$______,$(-\frac{1}{2})^{\circledR}=$______；
(3)将一个非零有理数a的圈n($n\geq3$)次方写成幂的形式：______；
(4)计算：$-4^2×(-\frac{1}{3})^{\circledR}$。

答案： 1. （1）
计算$2^{\circledR}$：
根据定义$2^{\circledR}=2÷2÷2$，按照从左到右的顺序计算，$2÷2 = 1$，$1÷2=\frac{1}{2}$。
计算$(-\frac{1}{2})^{\circledR}$：
$(-\frac{1}{2})^{\circledR}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})$。
先算$(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2}) = 1$，$1÷(-\frac{1}{2})=-2$，$-2÷(-\frac{1}{2}) = 4$。
所以$2^{\circledR}=\frac{1}{2}$，$(-\frac{1}{2})^{\circledR}=4$。
2. （2）
计算$5^{\circledR}$：
$5^{\circledR}=5÷5÷5÷5÷5$。
$5÷5 = 1$，$1÷5÷5÷5=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=(\frac{1}{5})^{3}$。
计算$(-\frac{1}{2})^{\circledR}$：
$(-\frac{1}{2})^{\circledR}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})$。
$(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2}) = 1$，$1÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=(-2)^{4}$。
所以$5^{\circledR}=(\frac{1}{5})^{3}$，$(-\frac{1}{2})^{\circledR}=(-2)^{4}$。
3. （3）
对于$a^{\circledR}(n\geq3)$：
$a^{\circledR}=\underbrace{a÷ a÷ a÷\cdots÷ a}_{n个a}$。
因为$a÷ a = 1$，那么$a^{\circledR}=1÷\underbrace{a÷ a÷\cdots÷ a}_{n - 2个a}$。
根据除法运算法则$a÷ b=a×\frac{1}{b}(b\neq0)$，$1÷\underbrace{a÷ a÷\cdots÷ a}_{n - 2个a}=1×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\cdots×\frac{1}{a}}_{n - 2个\frac{1}{a}}=(\frac{1}{a})^{n - 2}$。
4. （4）
解：
先计算$(-\frac{1}{3})^{\circledR}$：
$(-\frac{1}{3})^{\circledR}=(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})$。
$(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3}) = 1$，$1÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})=(-3)×(-3)×(-3)=(-3)^{3}$。
再计算$-4^{2}×(-\frac{1}{3})^{\circledR}$：
因为$-4^{2}=-16$，$(-\frac{1}{3})^{\circledR}=(-3)^{3}$。
则$-4^{2}×(-\frac{1}{3})^{\circledR}=-16×(-3)^{3}$。
根据幂的运算$(-3)^{3}=-27$，所以$-16×(-3)^{3}=-16×(-27)=432$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{1}{2}$，$4$；（2）$(\frac{1}{5})^{3}$，$(-2)^{4}$；（3）$(\frac{1}{a})^{n - 2}$；（4）$432$。