《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

24. (本小题 10 分)进位制是一种记数系统.人们约定逢三进一就是三进制,用数字 0,1,2 记数,三进制数可以转换为十进制数.例如,三进制数1 212 记为 $(1\ 212)_{3}$,由 $(1\ 212)_{3}= 1× 3^{3}+2× 3^{2}+1× 3^{1}+2× 3^{0}= 50$,可得 $(1\ 212)_{3}$ 是十进制数 50.
(1) 将 $(201)_{3}$ 转换为十进制数,结果是______.
(2) 对于一个用三进制表示的正整数,有下面的结论:① 若这个数的末位数字能被 2 整除,则这个数就能被 2 整除；② 若这个数的所有数位上的数字之和能被 2 整除,则这个数就能被 2 整除.请从中选出正确结论,并以四位的三进制数 $\overline{abcd}_{3}$ 为例,说明该结论正确的理由.
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正确结论是②。
理由：四位三进制数$\overline{abcd}_3$转换为十进制数为$N=a×3^3 + b×3^2 + c×3^1 + d×3^0$。
因为$3\equiv1\pmod{2}$，所以$3^k\equiv1^k=1\pmod{2}$（$k$为非负整数）。
则$N\equiv a×1 + b×1 + c×1 + d×1 = a + b + c + d\pmod{2}$。
因此，若$a + b + c + d$能被$2$整除，则$N$能被$2$整除，结论②正确。

答案：
(1) $(201)_3=2×3^2 + 0×3^1 + 1×3^0=2×9 + 0 + 1=19$，结果是$19$。
(2) 正确结论是②。
理由：四位三进制数$\overline{abcd}_3$转换为十进制数为$N=a×3^3 + b×3^2 + c×3^1 + d×3^0$。
因为$3\equiv1\pmod{2}$，所以$3^k\equiv1^k=1\pmod{2}$（$k$为非负整数）。
则$N\equiv a×1 + b×1 + c×1 + d×1 = a + b + c + d\pmod{2}$。
因此，若$a + b + c + d$能被$2$整除，则$N$能被$2$整除，结论②正确。