《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

10. 观察下列三行数：
-2,4,-8,16,-32,64,… 第1行
-1,2,-4,8,-16,32,… 第2行
0,6,-6,18,-30,66,… 第3行
(1) 第1行的第n个数可表示为(-2)^n.
(2) 根据(1)的结论,写出第2行和第3行的第n个数.
第2行：(-2)^n / 2，第3行：(-2)^n + 2
(3) 取每行的第n个数,从上往下依次把这三个数记为a,b,c.
① 当n= 8时,求a+b+c的值；
642
② 计算：4b-(a+c)=-2.

答案：
(1) (-2)^n；
(2) 第2行：(-2)^n / 2，第3行：(-2)^n + 2；
(3) ① 642；② -2

在数学活动中,小明为了求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+…+\frac{1}{2^{n}}$ 的值(结果用含n的代数式表示),设计了如图①所示的几何图形.
(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+…+\frac{1}{2^{n}}$ 的值为1 - $\frac{1}{2^{n}}$；
(2) 请利用图②,再设计一个能求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+…+\frac{1}{2^{n}}$ 的值的几何图形.

（在图②正方形中，将正方形面积视为1）从正方形左侧开始，第一次分割出一个宽为$\frac{1}{2}$、长为1的矩形，面积为$\frac{1}{2}$；在剩余右侧$\frac{1}{2}$宽度的矩形中，分割出宽为$\frac{1}{4}$、长为1的矩形，面积为$\frac{1}{4}$；继续在剩余右侧$\frac{1}{4}$宽度的矩形中，分割出宽为$\frac{1}{8}$、长为1的矩形，面积为$\frac{1}{8}$；以此类推，直至分割出面积为$\frac{1}{2^{n}}$的矩形。此时所有分割出的矩形面积之和即为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$，剩余右侧最小矩形面积为$\frac{1}{2^{n}}$，故总和为$1 - \frac{1}{2^{n}}$。（图形分割示意：从左至右依次画出宽度为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots,\frac{1}{2^{n}}$的矩形，标注各面积）

答案：
(1) 1 - $\frac{1}{2^{n}}$
(2) （在图②正方形中，将正方形面积视为1）从正方形左侧开始，第一次分割出一个宽为$\frac{1}{2}$、长为1的矩形，面积为$\frac{1}{2}$；在剩余右侧$\frac{1}{2}$宽度的矩形中，分割出宽为$\frac{1}{4}$、长为1的矩形，面积为$\frac{1}{4}$；继续在剩余右侧$\frac{1}{4}$宽度的矩形中，分割出宽为$\frac{1}{8}$、长为1的矩形，面积为$\frac{1}{8}$；以此类推，直至分割出面积为$\frac{1}{2^{n}}$的矩形。此时所有分割出的矩形面积之和即为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}$，剩余右侧最小矩形面积为$\frac{1}{2^{n}}$，故总和为$1 - \frac{1}{2^{n}}$。（图形分割示意：从左至右依次画出宽度为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots,\frac{1}{2^{n}}$的矩形，标注各面积）