《2025年自我提升与评价七年级数学上册人教版》

25. (本小题 8 分)有一种计算器,输出规则如下:输入两个关于$x的整式A,B$,对它们进行整式加法运算,若$A+B$的结果为单项式,则输出该单项式;若$A+B$的结果为多项式,则输出该多项式的最高次项与最低次项的和.
已知输入的整式$A= x^{2}+x-2$.
(1)若$B= 3x^{2}-4$,则输出的结果为$4x^2 - 6$;
(2)若输出的结果为$3x^{3}-x$,则整式$B$应满足什么条件?写出结论,并说明理由.
(3)若将整式$A,B$输入计算器,得到输出结果,记为第一次运算,然后将输出结果与$A$再次输入该计算器,得到输出结果,记为第二次运算……依次进行上述操作.若第$n(n\geqslant 3)$次运算得到的输出结果恰为单项式,请写出一个满足题意的整式$B$.

答案： 25.
(1) $4x^2 - 6$
(2) 整式$B$应满足$B = 3x^3 + ax^2 - 2x + 2$（其中$a$为常数）。
理由：设$A+B=C$，输出结果为$C$的最高次项与最低次项的和$3x^3 - x$。
$C$的最高次项为$3x^3$（三次），故$B$含$3x^3$（$A$无三次项）；
$C$的最低次项为$-x$（一次），$A$的一次项为$x$，则$B$的一次项系数为$-1 - 1 = -2$；
$C$无常数项（否则最低次项为常数项），$A$的常数项为$-2$，则$B$常数项为$0 + 2 = 2$；
$B$的二次项系数$a$为任意常数（不影响最高/低次项）。
(3) $B = -x^2$（答案不唯一）