《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

13. 已知 $A = m^{2}+n^{2}-6m+2n+30$,则 $A$ 的最小值为20.

答案： 20

14. 日常生活中,如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解法”产生的密码,方便记忆,原理如下：例如,对于多项式 $x^{4}-y^{4}$,因式分解的结果是 $(x + y)(x - y)(x^{2}+y^{2})$,若 $x = 9$,$y = 9$,则各个因式的值是：$x + y = 18$,$x - y = 0$,$x^{2}+y^{2}= 162$,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码. 那么对于多项式 $9x^{3}-xy^{2}$,当 $x = 11$,$y = 6$ 时,用上述方法产生的密码是113927. (写出一个即可)

答案： 113927(答案不唯一)

15. (8 分)分解因式：
(1) $3a^{3}-6a^{2}b+3ab^{2}$；
(2) $(2x + y)^{2}-(x - 2y)^{2}$；
(3) $x^{4}-16$；
(4) $3xy(a - b)^{2}+9x(b - a)$.

答案： 1. （1）
解：
首先提取公因式$3a$：
$3a^{3}-6a^{2}b + 3ab^{2}=3a(a^{2}-2ab + b^{2})$。
然后根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$（这里$m = a$，$n = b$）：
$3a(a^{2}-2ab + b^{2})=3a(a - b)^{2}$。
2. （2）
解：
根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$（这里$m=(2x + y)$，$n=(x - 2y)$）：
$(2x + y)^{2}-(x - 2y)^{2}=[(2x + y)+(x - 2y)][(2x + y)-(x - 2y)]$。
去括号：
$[(2x + y)+(x - 2y)][(2x + y)-(x - 2y)]=(2x + y+x - 2y)(2x + y - x + 2y)$。
合并同类项：
$(3x - y)(x + 3y)$。
3. （3）
解：
首先根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$（这里$m = x^{2}$，$n = 4$）：
$x^{4}-16=(x^{2})^{2}-4^{2}=(x^{2}+4)(x^{2}-4)$。
然后对$x^{2}-4$再用平方差公式（这里$m = x$，$n = 2$）：
$(x^{2}+4)(x^{2}-4)=(x^{2}+4)(x + 2)(x - 2)$。
4. （4）
解：
先将$(b - a)$变形为$-(a - b)$：
$3xy(a - b)^{2}+9x(b - a)=3xy(a - b)^{2}-9x(a - b)$。
然后提取公因式$3x(a - b)$：
$3xy(a - b)^{2}-9x(a - b)=3x(a - b)[y(a - b)-3]$。
去括号：
$3x(a - b)(ay - by - 3)$。
综上，（1）$3a(a - b)^{2}$；（2）$(3x - y)(x + 3y)$；（3）$(x^{2}+4)(x + 2)(x - 2)$；（4）$3x(a - b)(ay - by - 3)$。

16. (4 分)简便计算：
(1) $2×56^{2}+8×56×22+2×44^{2}$；
(2) $1.68×56^{2}-168×4.4^{2}$.

答案： $(1)$ 计算$2×56^{2}+8×56×22+2×44^{2}$
解：
$\begin{aligned}&2×56^{2}+8×56×22+2×44^{2}\\=&2×(56^{2}+4×56×22 + 44^{2})\\=&2×(56^{2}+2×56×44 + 44^{2})\\\end{aligned}$
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，这里$a = 56$，$b = 44$，则：
$\begin{aligned}&2×(56^{2}+2×56×44 + 44^{2})\\=&2×(56 + 44)^2\\=&2×100^2\\=&2×10000\\=&20000\end{aligned}$
$(2)$ 计算$1.68×56^{2}-168×4.4^{2}$
解：
$\begin{aligned}&1.68×56^{2}-168×4.4^{2}\\=&1.68×56^{2}-1.68×100×4.4^{2}\\=&1.68×(56^{2}-44^{2})\end{aligned}$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 56$，$b = 44$，则：
$\begin{aligned}&1.68×(56^{2}-44^{2})\\=&1.68×(56 + 44)×(56 - 44)\\=&1.68×100×12\\=&168×12\\=&2016\end{aligned}$
综上，答案依次为$\boldsymbol{20000}$；$\boldsymbol{2016}$。