《2025年配套综合练习甘肃八年级数学上册人教版》

5. 如图 14.3 - 16,已知在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 中,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle BAC= \angle DAE = 90^{\circ}$,$BD$,$CE$ 交于点 $F$,连接 $AF$。给出下列结论：① $BD = CE$；② $BF\perp CE$；③ $AF$ 平分 $\angle BAD$；④ $\angle AFE = 45^{\circ}$。其中正确的是①②④。(填序号)

答案： ①②④

6. 如图 14.3 - 17,点 $A$,$B$ 分别在 $\angle O$ 的两边上,点 $P$ 是 $\angle O$ 内一点,$PC\perp OA$,$PD\perp OB$,垂足分别为 $C$,$D$,且 $OA = OB$,$PC = PD$。求证：$PA = PB$。

答案： 证明：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，
∴点P在∠AOB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠AOP=∠BOP。
在△AOP和△BOP中，
∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴PA=PB。

7. 如图 14.3 - 18,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B= \angle C$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$DE\perp AB$ 于点 $E$,$DF\perp AC$ 于点 $F$。求证：$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线。

答案： 证明：
∵∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）。
∴AD是△ABC的角平分线。